Pregunta basada en la desigualdad con $\sum_{i=1}^{n}x_{i}=1$

Question

Pregunta:

Si $n$ sea un número entero positivo, y que $x_{i}\ge 0$ tal que $x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=1$ . Encuentra el máximo del valor $$x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{1}x_{2}x_{3}+\cdots+x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}\cdots x_{n}.$$

Inténtalo: (1):cuando $n=1$ es evidente que es igual $1$ .

(2):cuando $n=2$ la condición es $x_{1}+x_{2}=1$ entonces $$x_{1}+x_{1}x_{2}=x_{1}+x_{1}(1-x_{1})=2x_{1}-x^2_{1}=-(x_{1}-1)^2+1\le 1$$ cuando $n=3$ la condición $x_{1}+x_{2}+x_{3}=1$ entonces $$x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{1}x_{2}x_{3}=x_{1}(1+x_{2}+x_{2}x_{3})\le x_{1}(1+x_{2})(1+x_{3})\le \left(\dfrac{x_{1}+1+x_{2}+x_{3}+1}{3}\right)^3=1$$ cuando $x_{1}=1,x_{2}=x_{3}=0$

Para $n\ge 4$ ¿Cómo encontrarlo?

Answer 1

Por AM-GM obtenemos: $$x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{1}x_{2}x_{3}+\cdots+x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}\cdots x_{n}$$ $$\leq x_1(1+x_2)\cdots(1+x_n)\leq\left(\frac{n-1+x_1+\cdots+x_n}{n}\right)^n=1.$$ La igualdad se produce para $x_2=\cdots=x_n=0$ y $x_1=1$ que dice que $1$ es un valor máximo.