Estoy estudiando Filosofía, pero la mayoría de mis intereses tienen que ver con la filosofía de las matemáticas y la lógica. Me gustaría poder tener un nivel muy alto de competencia en los temas mencionados en el título, y me preguntaba, dado que no tengo una formación matemática más allá de las matemáticas de nivel escolar básico, ¿qué ramas concretas de las matemáticas puras me ayudarán a profundizar en el estudio de la Lógica, la teoría de modelos y la teoría de conjuntos? ¿Cálculo? ¿Teoría de grupos? Espero que me puedan dar alguna sugerencia.
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DanV
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Además de aprender lógica, teoría de conjuntos y teoría de modelos, probablemente se beneficiaría de unos conocimientos básicos en
- Álgebra abstracta (teoría de grupos, teoría de anillos, etc.)
- Topología general
- Algo de teoría de la medida básica
- Computabilidad y complejidad
Si bien estas cosas no son necesarias per se para ganar comprensión en la lógica, o en la teoría de conjuntos (aunque la teoría de modelos se ocupa mucho de las matemáticas reales, así que no se puede escapar de ella allí); para entender completamente la teoría de conjuntos creo que uno tiene que ver las teorías matemáticas "habituales" y entenderlas a un nivel básico. Si no es por otra cosa, sí para entender lo que hace especial a la teoría de conjuntos.
De ser así, parece que se necesita la mayor parte de una licenciatura en matemáticas. Pero también es necesario si se quiere entender cualquier teoría matemática en profundidad.
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146
Por supuesto, depende de lo que se entienda por "un nivel de competencia muy alto". Ser capaz de comprender El trabajo de alto nivel en lógica, teoría de modelos, teoría de conjuntos (y ciertamente deberías añadir la teoría de la computabilidad a la lista) es una cosa, ser capaz de realizar trabajos matemáticos en las fronteras de la investigación en esas zonas es otra cosa. Si está interesado en el filosofía de las matemáticas y la lógica, entonces es definitivamente la primera la que es crucial. Y ciertamente es posible obtener una muy buena comprensión avanzada de las áreas que usted menciona sin tener una formación matemática muy amplia y rica.
Así que yo diría que, al menos de momento, deberías concentrarte en la lógica (en sentido amplio) y en la teoría de conjuntos, etc., e ir adquiriendo otros conocimientos matemáticos a medida que vayas avanzando, en función de las necesidades. Cuando te encuentres con referencias a alguna idea matemática de fondo que parezca importante (es decir, que aparezca en algo más que un ejemplo prescindible), siempre puedes consultar la Wikipedia (a menudo es buena) o pedirle a un compañero que te lo explique con una pinta de cerveza: eso podría ser suficiente para tus propósitos iniciales, aunque podrías encontrarte lo suficientemente intrigado como para querer profundizar un poco más. Por mi parte, sólo cuando empecé a enseñarme algo de teoría de categorías me encontré con un poco de dificultad debido a la falta de un amplio conocimiento de las matemáticas puras abstractas modernas, habiendo hecho los tripos de matemáticas hace tanto tiempo y luego especializándome en aplicadas].
Pero, dicho esto, ¿por qué no asistir a uno o dos cursos de matemáticas en tu universidad? Puede ser una forma relativamente sencilla de adquirir más ideas matemáticas. Empieza, por ejemplo, con el curso de introducción al análisis. (Aunque como los cursos de análisis modernos pueden plantear las cosas de forma teórica desde el principio, eso puede ser potencialmente engañoso sobre el supuesto papel de la teoría de conjuntos como base de las matemáticas. Así que tal vez también intente un curso elemental de Combinatoria o Teoría de Números).
Por último, resulta que estoy escribiendo una guía de Teach Yourself Logic -quiero decir, una lista de lecturas comentadas- para los estudiantes de filosofía que quieran alcanzar un alto nivel de competencia. Hasta ahora sólo está hecha en parte, pero puedes encontrar la versión actual aquí: http://www.logicmatters.net/tyl
Old John
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16308
Yo diría que si consigues tres libros titulados respectivamente "Lógica Matemática", "Teoría de Modelos" y "Teoría Axiomática de Conjuntos", eso es prácticamente todo lo que necesitas. Alguno de ellos, o todos, debería llevar también la palabra "Introducción" en el título.
No creo que el cálculo sea de mucha ayuda (pero entiendo que los elementos del álgebra abstracta sí lo serían).
Si quiere recomendaciones más precisas sobre los libros, seguro que también podemos ayudarle.
user27515
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214
Esto es un poco tangencial a tu pregunta, pero si tu interés final es la filosofía de las matemáticas, creo que sería importante algún conocimiento de la teoría de categorías, como posible alternativa a la teoría de conjuntos como fundamento de las matemáticas. Los textos de Steve Awodey ( Teoría de la categoría ) o F. W. Lawvere y Stephen Schanuel ( Matemáticas conceptuales ) pueden servir como introducciones útiles.
