Demuestre que una transformación lineal acotada es continua

Question

No estoy seguro de lo que se pide en esta pregunta.

Un operador lineal $T$ entre los espacios normados X e Y está acotado si y sólo si es un operador lineal continuo. Pero la topología débil no es metrizable. Supongo que debería usar el Teorema del Grafo Cerrado, ¿es esta una dirección correcta?

Cualquier ayuda se agradecerá.

Answer 1

Tenemos que demostrar que si $V$ es abierta en la topología débil de $Y$ entonces $T^{-1}[V]$ es abierta en la topología débil de $X$ .

Es evidente que basta con demostrar que si $\mathscr S$ es una sub-base de vecindades de cero en la topología débil de $Y$ y $W\in\mathscr S$ entonces $T^{-1}[W]$ es débilmente abierto en $X$ .

Una sub-base de vecindades de cero en en la topología débil de $Y$ se obtiene como $$\mathscr S=\{W_{\varphi,\varepsilon}:\varphi\in Y^*\,\&\,\varepsilon>0 \},$$ donde $$W_{\varphi,\varepsilon}=\{y\in Y: \lvert\varphi(x)\rvert<\varepsilon\} =\varphi^{-1}[(-\varepsilon,\varepsilon)].$$ Así, $$T^{-1}[W_{\varphi,\varepsilon}]=T^{-1}\big[\varphi^{-1}[(-\varepsilon,\varepsilon)]\big] =(\varphi\circ T)^{-1}[(-\varepsilon,\varepsilon)].$$ Pero $(\varphi\circ T)^{-1}[(-\varepsilon,\varepsilon)]$ es abierta en la topología débil de $X$ desde $\varphi\circ T\in X^*$ .

Así, en efecto $T$ es continua con respecto a las topologías débiles.