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Sobre la definición del grado de los subesquemas cerrados

$\underline {Background}$ Sabemos que, para una variedad proyectiva $X \subset\mathbb{P}^{n}=(\mathbb{K}^{n+1}-{0})/\sim$

definimos , grado( $X$ )= $(r!)$ (coeficiente principal del polinomio hilbert de $X$ )

$\underline {Question (1)}$ :¿Cuál es la definición de grado de un subesquema cerrado $X$ de $Proj(K[x_0,....,x_n])$ ?

¿Podemos definir lo mismo para el subesquema cerrado?

$\underline {Question (2)}$ :¿qué se puede decir sobre el grado de $0$ -¿subesquema dimensional?

Como sólo hay un número finito de puntos en un $0$ subesquema dimensional, ¿podemos decir que en este caso el grado es lo mismo que la cardinalidad?

Por último ¿hay alguna referencia donde se hable explícitamente de la definición de grado de un subesquema cerrado en $Proj(K[x_0,....,x_n])$ (quizás con algún ejemplo)

Cualquier ayuda de alguien es bienvenida.

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Armando j18eos Puntos 1

Respuesta (1) Sí, podemos.

Respuesta (2) : Dejemos que $I\subset\mathbb{K}[x_0,\dots,x_n]$ sea un ideal homogéneo, tal que $V_+(I)$ es un $0$ -(cerrado) del subesquema de $\mathbb{P}^n_{\mathbb{K}}$ cuyo soporte es un conjunto de $r$ puntos distintos; donde el campo subterráneo es algebraicamente cerrado. Se demuestra fácilmente que $\deg V_+(I)\geq\deg V_+(\sqrt{I})=r$ porque $I\subseteq\sqrt{I}$ pero, en general, la igualdad no se mantiene.

Ejemplo : Dejemos que $n=1, I=(x_1)^2=(x_1^2), \sqrt{I}=(x_1)$ y el apoyo de $V_+(I)$ es un único punto (cerrado) de $\mathbb{P}^1_{\mathbb{K}}$ utilizando la prueba dada aquí : \begin{equation*} \deg V_+(I)=\dim_{\mathbb{K}}\mathbb{K}[x_1]_{\displaystyle/(x_1^2)}=2>1=\dim_{\mathbb{K}}\mathbb{K}[x_1]_{\displaystyle/(x_1)}=\deg V_+(\sqrt{I}) \end{equation*}

Como referencia, sugiero los apuntes de la conferencia de Gathmann ( Geometría algebraica clásica y Teoría de los esquemas ).

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