Prueba del isomorfismo del subgrupo conjugado

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo, y que $H$ sea un subgrupo de $G$ . Demostrar que si $a$ es un elemento de $G$ entonces el subconjunto $aHa^{-1} = \{g G | g = aha^{-1} \text{ for some } h \in H\}$ es un subgrupo de $G$ que es isomorfo a $H$ .

Prueba:
Dejemos que $G$ sea un grupo y $H$ es un subgrupo de $G$ . Supongamos que $a$ es cualquier elemento de $G$ . Ahora $: H \rightarrow aHa^{-1}$ se define por $(h) = aha^{-1}.$ Así que $$(h_1 h_2) = ah_1h_2a^{-1} = ah_1a^{-1} ah_2a^{-1} = (h_1) (h_2) $$ Por lo tanto, es un homomorfismo.

(uno a uno)
Ahora $$\begin{eqnarray*}h \in \operatorname{ker}() &\text{if and only if}&(h) = 0\\ &\text{if and only if}&aha^{-1} = 0\\ &\text{if and only if}&h = 0\\ \end{eqnarray*} $$

Por lo tanto, $\operatorname{ker}() = \{0\}$ . Por lo tanto, $$ es uno a uno.

(sobre)
Dejemos que $y \in aHa^{-1}$ . Entonces $y = aha^{-1}$ para algunos $h \in H$ . Como $h \in H$ , $(h) = aha^{-1} = y$ . Por lo tanto, $$ está en.

Por lo tanto, $$ es un isomorfismo.

¿Cómo puedo demostrar que $aHa^{-1}$ es un subgrupo de $G$ ?

Answer 1

Permítame mostrarle cómo escribiría cada paso para la verificación del subgrupo.

(identidad)
$aa^{-1}=1\in aHa^{-1}$ Así que $aHa^{-1}$ tiene identidad.

(inverso)
Si $x\in H$ entonces $x^{-1}\in H$ Así que $$\left(axa^{-1}\right)^{-1}=ax^{-1}a^{-1}\in aHa^{-1}.$$

(asociatividad)
La asociatividad se hereda trivialmente del supergrupo.

(cierre)
Toma $axa^{-1}\in aHa^{-1}$ y $aya^{-1}\in aHa^{-1}$ con $a,y\in H$ . $$axa^{-1}aya^{-1}=axya^{-1}$$ Por cierre de $H$ , $xy\in H$ Así que $axya^{-1}\in aHa^{-1}$ .

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Como alternativa, podría componer su homomorfismo $\phi$ con el homomorfismo cero $x\mapsto 1$ . La imagen de $\phi$ es el núcleo de este homomorfismo, y has demostrado que $\phi$ está en.

Answer 2

En primer lugar, tenemos que establecer la existencia de inversos:

Considere cualquier elemento $aha^{-1} \in aHa^{-1}$ . Entonces $(aha^{-1})^{-1} = ah^{-1}a^{-1}$ . Ciertamente, esto es en $aHa^{-1}$ desde $h^{-1} \in H$ .

A continuación, comprobamos que es cerrado bajo la multiplicación:

Considere un segundo elemento $ah'a^{-1} \in aHa^{-1}$ . Entonces $ah'a^{-1}aha^{-1} = ah'ha^{-1}$ . Ciertamente, esto es en $aHa^{-1}$ desde $h'h \in H$ .

Dejaré que compruebes que la identidad también está contenida en nuestro subgrupo.

Answer 3

Basta con comprobarlo: $e \in aHa^{-1}$ y dados elementos arbitrarios $x, y \in aHa^{-1}$ tenemos $xy^{-1} \in aHa^{-1}$ .

La primera condición se desprende del hecho de que $H$ es un subgrupo y también lo es el segundo: dejemos que $x = ala^{-1}$ y $y = aka^{-1}$ entonces $xy^{-1} = a(lk^{-1})a^{-1} = aha^{-1} \in aHa^{-1}$ .