Dejemos que O denota el origen del eje de coordenadas, y sea C denotan la parte de la parábola $y=x^2$ que se encuentra en el primer cuadrante. Una partícula P comienza en O y se mueve a lo largo de C de tal manera que su distancia al eje y aumenta a razón de 3 unidades por segundo. Sea Q denotan el punto donde la tangente a la parábola en el punto P se cruza con el eje x, y dejemos que R denotan el pie de la perpendicular de P al eje x. Sea $\phi$ denotan el ángulo (en radianes) subtendido en el vértice Q del triángulo PQR . ¿Qué tan rápido es $\phi$ cambiando, cuando P se encuentra a 4 unidades del eje Y?
Mi intento de solución:
Se nos da $\frac{dx}{dt}$ $=3$ unidades/segundo. Utilizaremos $P(u,u^2)$ . Queremos $\frac{d\phi}{dt}$ cuando $u=4$ .
Cuando P está a 4 unidades del eje y, tenemos $P(4,16)$ y $R(4,0)$ . Encontré la intersección x de Q escribiendo las siguientes ecuaciones:
$$y-u^2=2u(x-u)$$
$$0-16=2(4)(x-4)\Rightarrow x=2$$
Así que Q se encuentra en $(2,0)$ . Ahora tenemos un triángulo con longitudes de lado $||PQ||=\sqrt{20}, ||PR||=4, ||QR||=2$ .
Para encontrar $\phi$ : $$tan(\phi)=\frac{||PR||}{||QR||}=\frac{16}{2}=8\Rightarrow\frac{d\phi}{dx}=arctan(8)$$ $$\frac{d\phi}{dt}=\frac{d\phi}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}=arctan(8)\cdot3$$
¿Estoy enfocando esto correctamente? Realmente no estoy seguro de si eso funcionará o si debería usar $||PQ||$ . También debíamos encontrar el área del triángulo en este instante y me pareció que era de 48, pero por alguna razón no estoy seguro de la parte del ángulo y si este método me seguirá dando el valor correcto en un cambio de tiempo. Gracias.
