Es de dimensión finita, se requiere en esta prueba?

Question

Deje $V$ $W$ ser espacios vectoriales sobre un campo $K$. Si un lineal mapa de $L:V \rightarrow W$ es surjective entonces su dual es inyectiva. Si $V$ $W$ son finito dimensionales, a continuación, la conversación se mantiene, es decir, $L^*:W^* \rightarrow V^*$ inyectiva implica $L$ surjective.

He probado ambas declaraciones, pero no veo donde he utilizado el finito dimensionales requisito para el segundo. Aquí está mi prueba:

Suponga $L$ no es surjective, decir que el elemento $e_i$ de la base de $W$ no está en la imagen de $L$. Tome su correspondiente doble $\alpha_i \in W^*$, $L^*(\alpha_i)=\alpha_i \circ L =0$ por lo que el núcleo de $L^*$ no es 0 y por lo tanto $L^*$ no es inyectiva.

Answer 1

Mi primer argumento tiene que ser cambiado como los comentarios de @Julian Rosen espectáculo. De dimensión finita, no es necesario:

Tomar una base $B'$ de la imagen de $L$ $W$ y completar a base $B$ $W$ (por supuesto de $B \setminus B'$ no está vacío). Definir el lineal funcional $\alpha$ $\alpha(e)=1$ donde $e\in B\setminus B'$ $\alpha(v)=0$ $v \in B'$ (y se extienden de forma lineal). A continuación,$L^*(\alpha)=\alpha \circ L = 0$, e $\alpha$ no es la $0$ lineal funcional, por lo tanto $L^*$ no es inyectiva.

Para la prueba de $L^*$ surjective iff $L$ inyectiva ver la última respuesta de: Son de inyectividad y surjectivity dual?

Answer 2

Creo que Pete L. Clark respuesta es intuitivo y no me refiero a ocultar el problema, pero puedo agregar algunos abstractos tonterías (que, obviamente, uno podía ignorar)?

En la categoría de espacios vectoriales, se puede mostrar fácilmente cada mono (inyectiva) y epi (surjective) se divide. La doble construcción fielmente functorial (otro sencillo ejercicio), por lo que ambos se conserva y se refleja split monos y división de epis, es decir, monos iff dual se epi epi iff dual es mono.

Gracias por la indulgencia.