Determinar si la secuencia es no decreciente o creciente

Question

Tengo una secuencia, donde $n \in \mathbb N$ $$1-{1\over 3^n}$$ Se supone que debo determinar si la secuencia es no decreciente .

Sabiendo que para un no decreciente secuencia $$a_n \le a_{n+1}$$

No estoy seguro de que mi solución sea correcta $$1-{1\over 3^n} \le 1-{1\over 3^{n+1}}$$ $$1-{1\over 3^n} \le 1-{1\over 3^{n}\cdot3}$$ $$-{1\over 3^n} \le -{1\over 3^{n}\cdot3}$$ $$-3^n\cdot3 \le -3^n$$ $$3 \ge 1$$ ¿Prueba esto que la secuencia es no decreciente ? Si no es así, ¿cómo se puede determinar?

EDITAR: Si intento demostrar que la secuencia es estrictamente creciente ( $a_n \lt a_{n+1}$ ) $$1-{1\over 3^n} \lt 1-{1\over 3^{n+1}}$$ $$1-{1\over 3^n} \lt 1-{1\over 3^{n}\cdot3}$$ $$-{1\over 3^n} \lt -{1\over 3^{n}\cdot3}$$ $$-3^n\cdot3 \lt -3^n$$ $$3 \gt 1$$ Estoy un poco confundido, ya que esto también demuestra que la secuencia es estrictamente creciente . ¿Qué estoy haciendo mal?

Answer 1

Lo que también puede intentar podría llamarse Inducción matemática . La prueba por inducción requiere 2 cosas :

• Probar que la propiedad $a_n\leq a_{n+1}$ se mantiene para el caso base (en este caso, $n=1$ ).
• Probar que la propiedad $a_n\leq a_{n+1}$ es válida para cualquier $n$ (en este caso, $n\in\mathbb N$ ).

$a_1 = 1-\frac{1}{3^1} = \frac{2}{3} = \frac{6}{9}$

$a_2 = 1-\frac{1}{3^2} = \frac{8}{9}$

Por lo tanto, concluimos que $a_1\leq a_2$ .

Añadiendo esto a su prueba de que $a_n\leq a_{n+1}$ para cualquier $n\in\mathbb N$ hemos demostrado que la secuencia es no decreciente.

Answer 2

Ya que "añadir $1$ " es una operación creciente, basta con mirar la secuencia $(-1/3^n)$ . Esto es creciente si y sólo si la secuencia $(1/3^n)$ es decreciente, lo que equivale a $(3^n)$ que está aumentando, lo cual es cierto.

Tu idea también es buena: en la pantalla de abajo, cada línea es equivalente a la anterior: \begin{gather} 1-\frac{1}{3^n}< 1-\frac{1}{3^{n+1}} \\ -\frac{1}{3^n} < -\frac{1}{3^{n+1}} \\ \frac{1}{3^{n+1}}< \frac{1}{3^n} \\ \frac{1}{3} < 1 \end{gather} Como la última línea es una afirmación verdadera, también lo es la primera.

Answer 3

Se puede conseguir una prueba más elegante con un poco de cálculo;

Dejemos que $f(n) = 1 - \frac{1} {3^n}$ . Entonces $f'(n) = \frac{1}{3^n}\log(3)$ .

Tenga en cuenta que $a = \log(3) = 1.099 > 0$ y que para cualquier $n$ , $b = \frac{1}{3^n} > 0$ .

Así, $f(n) = 1 - \frac{1} {3^n} = ab > 0$ lo que significa que $f(n)$ es que aumenta monótonamente y así es no decreciente .