Operador de momento en la representación de la posición y viceversa

Question

Así que pensé que

$$\hat{p}~=~-i\hbar \frac{\partial}{\partial x}~$$

y

$$\hat{x}~=~i\hbar \frac{\partial}{\partial p}~$$

pero acabo de encontrar el siguiente problema:

"Encontrar la función de onda para el estado fundamental de

$$H = \frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2x^2$$

en la base de la posición".

Así que me piden: $\psi_0(x)= x|0 $

Hice lo siguiente: Quería aplicar la condición:

$$a|0 = 0$$

Con $a$ ser:

$$a=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}(x+ip)$$

Me imaginé que como

$$\hat{x}|x=x|x$$

y

$$\hat{p}|x=-i\hbar \frac{\partial}{\partial x}|x$$

Podría meterlos en la ecuación de la a y terminaría con:

$$ \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}} \bigg( x+\hbar \frac{\partial}{\partial x} \bigg) \psi_0 = 0$$

Lo que me llevó a:

$$\frac{d\psi_0}{\psi_0}=-\frac{x}{\hbar}dx$$

Pero al comprobar las respuestas, se ha dicho que:

$$\hat{p}|x=\frac{-i\hbar}{\sqrt{m\omega\hbar}} \frac{\partial}{\partial x}|x$$

Y no entiendo dónde se sumerge la raíz cuadrada $-i\hbar$ viene de.

Answer 1

Creo que se trata de un problema entre diferentes notaciones. En primer lugar, efectivamente tienes $ \widehat{x} \left | \Psi \right > = x\left | \Psi \right > $ y $ \widehat{p} \left | \Psi \right > = -i\hbar\frac{\partial\left | \Psi \right >}{\partial x} $ . Pero el operador de aniquilación $\widehat{a}$ es igual a $\frac{\widehat{X}+i\widehat{P}}{\sqrt{2}}$ donde $ \widehat{X}$ y $\widehat{P}$ son operadores adimensionales.

Y sucede que usted tiene : $\widehat{X}=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}\widehat{x}$ y $\widehat{P} = \frac{\widehat{p}}{\sqrt{m\hbar \omega}}$ De ahí la expresión escrita en la respuesta en la que el $\widehat{p}$ debe interpretarse como $\widehat{P}$ Supongo que sí.

Y, por cierto, si utiliza estas expresiones, comprobará que $\widehat{a}=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left (\widehat{x}+\frac{i\widehat{p}}{m\omega} \right )$

Answer 2

Su operador de aniquilación está equivocado. Lo está, $$ a= (\sqrt{\frac{m\omega}{2}}x + i\frac{p}{\sqrt{2m\omega}})$$ Para encontrar $\langle{x'}|0$ sólo tienes que resolver esta ecuación: $$ \langle{x'}|a|0=0$$ $$ \langle{x'}|(\sqrt{\frac{m\omega}{2}}x + i\frac{p}{\sqrt{2m\omega}})|0=0$$ Desde $p=-i\partial_{x'}$ , $$\sqrt{\frac{m\omega}{2}}x'\langle{x'}|0+\frac{\partial_{x'}\langle{x'}|0}{\sqrt{2m\omega}}=0$$ Al resolver esta ecuación diferencial se obtiene $\psi_0(x')$ . Para calcular cualquier $\psi_n(x')$ basta con aplicar el operador de creación n veces sobre $|0$ y tomar el producto interior $x'|n$ .

Nota: He utilizado $\hbar =1$ .