Necesita ayuda para entender la prueba de $\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)$

Question

Fuente: Cálculo de Spivak, Capítulo 18: El logaritmo y las funciones exponenciales. Teorema 3:

Teorema: Para todos los números $x$ , $\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)$ , donde $\exp$ es se define como $\log^{-1}$

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Prueba de ello: Sea $x' = \exp(x)$ y $y' = \exp(y)$ para que

$x = \log x'$ ,

$y = \log y'$ .

Entonces

$x + y = \log x' + \log y' = \log(x'y')$ .

Esto significa que

$\exp(x + y) = x'y' = \exp(x) \exp(y)$ .

No entiendo la parte del principio donde deja $x' = \exp(x)$ y $y'=\exp(y)$ ... ¿Podría haber utilizado $f'= \exp(x)$ y $g'=\exp(y)$ para que haya menos confusión, ¿o estoy malinterpretando algo completamente?

Answer 1

No son derivados, sólo son nuevos nombres para las expresiones.

Para que quede más claro, vamos a utilizar nombres completamente nuevos. Aquí, $x$ y $y$ son números reales fijos; sea $a=\exp(x)$ y $b=\exp(y)$ . Entonces, por la definición de exponencial y logaritmo, tenemos $x=\log(a)$ y $y=\log(b)$ . Así, $x+y=\log(a)+\log(b) = \log(ab)$ (es de suponer que esta propiedad de los logaritmos ya se ha establecido). Así que $$\exp(x+y) = \exp(\log(ab)) = ab = \exp(x)\exp(y),$$ con $\exp(\log(ab))=ab$ porque $\exp$ es la función inversa del logaritmo.