La gavilla dualizadora para una variedad propia y suave

Question

Supongamos que $X$ es un $n$ variedad lisa propia dimensional, es la gavilla dualizadora de $X$ la cuña superior de la gavilla de diferenciales: $\omega_X^0=\wedge^n\Omega^1_X$ ? Si no es así, ¿qué es?

(Por el lema de Chow, tenemos un morfismo dominante de una variedad proyectiva lisa $X'\to X$ . ¿Podemos construir la gavilla dualizadora a partir de esto?)

Answer 1

Como complemento al comentario de abx, y ya que de alguna manera es difícil localizar la declaración exacta en la obra de Hartshorne Residuos y dualidad Permítanme señalar el resultado preciso (o mejor una versión relativa del mismo), que se puede encontrar por ejemplo en 1 , Propuesta 22 p. 55.

Teorema. Dejemos que $f \colon X \to S$ sea un morfismo plano de Cohen-Macauley de esquemas (es decir, todas las fibras de $f$ son esquemas de Cohen-Macauley), y sea $V \subset X$ sea el lugar suave de $f$ . Entonces existe un isomorfismo canónico $$\omega_f|_V = \det \Omega^1_{V|S},$$ donde $\omega_f$ denota la gavilla dualizadora relativa con respecto a $f$ .

En particular, cuando $S = \textrm{Spec}(k)$ y $X$ es cualquier esquema suave, deducimos el isomorfismo deseado $$\omega_X = \det \Omega^1_{X} = \bigwedge^{\dim X} \Omega_X^1.$$

Referencias.

1 Steven L. Kleiman: Dualidad relativa para las láminas cuasi-coherentes Compositio Mathematica 41 (1980), 39-60.