Encuentre el mínimo número entero positivo $n$ y la matriz $A^{2020}$

Question

Dejemos que $A=a\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ $(a>0)$ y $I=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ satisfacer $A^4+I=\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

1. Encuentre $a$ Por esto puedo hacerlo. He visto $a=\frac{1}{\sqrt{2}}$
2. Encuentra el mínimo número entero positivo $n$ tal que $A^n\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix}$
3. Encuentre $A^{2020}$

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Así que por favor ayuden a decirme sobre este 2 y 3. ¡¡Dame algunas pistas o ideas!!

Answer 1

$1$ . $A^4=-I\Rightarrow \hat i\rightarrow-\hat i,\hat j\rightarrow-\hat j\Rightarrow A$ es una matriz de rotación antihoraria con $\theta=\frac{\pi}4$ .

Normalizar $A$ eligiendo $a=\frac1{\sqrt2}$ para que la aplicación de $A$ - una vez da lugar a una rotación en sentido contrario a las agujas del reloj de $\frac{\pi}4$ y $\hat i\rightarrow \frac1{\sqrt 2}(\hat i+\hat j),\hat j\rightarrow \frac1{\sqrt 2}(-\hat i+\hat j)$ , - cuatro veces da lugar a una rotación en sentido contrario a las agujas del reloj de $\pi$ y $\hat i\rightarrow-\hat i,\hat j\rightarrow -\hat j$ . Tenga en cuenta que $a=-\frac1{\sqrt2}$ también hace el trabajo, pero $a>0$ se da (Razón por la cual $A$ gira en sentido contrario a las agujas del reloj).

$2$ . ¿Cuántas rotaciones de este tipo son necesarias para girar $\hat j$ a $\hat i$ ?

$n$ es el mínimo múltiplo entero positivo de $\frac{3\pi/2}{\pi/4}=6\Rightarrow n=6$ .

$3.$ $A^{2020}$ es una matriz de rotación en sentido contrario a las agujas del reloj que gira $\hat i\rightarrow-\hat i,\hat j\rightarrow-\hat j$ porque $2020\cdot \frac{\pi}4=505\pi=2n\pi+\pi$ .

$A^{2020}=-I$ .

Answer 2

Para 2: $A^{2}\left(\begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} -1\\ 0 \end{array}\right)$ Así que $$A^6\left(\begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array}\right)=-A^2\left(\begin{array}{c} 0\\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right).$$ Pista para la 3: $2020$ es un múltiplo impar de $4$ .