Estoy leyendo algunas notas en línea ( http://www.uio.no/studier/emner/matnat/math/MAT4215/v15/notes4.pdf ) y quería preguntar sobre la primera frase de esta prueba:
Soy muy nuevo en los productos de fibra de los esquemas. ¿Cuál es el principio que nos permite concluir la Proposición 0.3 en general si sabemos que es verdadera para $Y$ ¿afín?
Tenga en cuenta que $\operatorname{Spec} k(y)$ (lo más probable es que sea una errata en el diagrama sobre la proposición en las notas) consiste en un único punto, y como tal, la imagen de ese punto en $Y$ (que es $y$ ) está contenida en algún subesquema afín de $Y$ .
Vemos que todo lo que hay de $Y$ fuera de esta vecindad afín es irrelevante para nuestros propósitos: Restringir $X$ a la imagen inversa sobre $\phi$ de esta vecindad afín, y el esquema de producto resultante no cambia, como se ve por la propiedad universal del producto de fibras (el nuevo esquema de producto cumple la propiedad universal del antiguo, por lo que son el mismo esquema, hasta el isomorfismo único).
De forma más general, el mismo argumento dice que si tenemos esquemas y morfismos $f:X\to Y$ y $g:Z\to Y$ y la imagen (topológica) de $Z$ está contenida en algún subesquema abierto $Y'\subseteq Y$ entonces $Z\times_YX\cong Z\times_{Y'} X'$ , donde $X'$ es el subesquema abierto de $X$ dado por el subespacio topológico $f^{-1}(Y')$ .
Aquí están los detalles de la respuesta de Arthur.
Dejemos que $f:X \rightarrow Y$ sea un morfismo de esquemas. Si $U \subseteq X$ es abierta, entonces la composición del morfismo de inclusión $U \rightarrow X$ seguido de $f$ se llama la restricción de $f$ a $U$ .
Ahora dejemos que $V \subseteq Y$ sea abierta, y supongamos que la imagen de $f$ está contenida en $V$ . Entonces existe un morfismo único $f':X \rightarrow V$ tal que $f$ es igual a la composición de $f'$ seguido del morfismo de inclusión.
En particular, dejemos que $j$ sea el morfismo de inclusión de un conjunto abierto $V$ en un esquema $Y$ . Si $f, g: X \rightarrow V$ son morfismos tales que $j \circ f = j \circ g$ entonces $f = g$ .
Lema : Supongamos que $U$ es cualquier subconjunto abierto de $X$ para lo cual $f(U) \subseteq V$ . Entonces existe un morfismo único $f': U \rightarrow V$ tal que la composición del morfismo de inclusión de $U$ en $X$ seguido de $f$ es igual a $f'$ seguido del morfismo de inclusión de $V$ en $Y$ .
Como consecuencia del lema:
Propuesta : Dejemos que $f: X \rightarrow S, g: Y \rightarrow S$ sean dos esquemas sobre un esquema $S$ . Sea $S_0 \subseteq S$ sea abierto, y que $X_0 \subseteq X$ sea la preimagen de $S_0$ en $f$ . Supongamos también que la imagen de $g$ está contenida en $S_0$ . Sea $f_0: X_0 \rightarrow S_0$ y $g_0: Y \rightarrow S_0$ sean los morfismos como en el lema. Entonces $X_0 \times_{S_0} Y \cong X \times_S Y$ .
Prueba: Sea $Z = X_0 \times_{S_0} Y$ , con proyecciones $p_0: Z \rightarrow X_0$ y $q: Z \rightarrow Y$ tal que $f_0 \circ p_0 = g_0 \circ q$ . Sea $a: S_0 \rightarrow S, i: X_0 \rightarrow X$ son los morfismos de inclusión, por lo que $a \circ f = f_0 \circ i, a \circ g = g_0$ .
Por composición, obtenemos un morfismo $p = i \circ p_0: Z \rightarrow X$ con $f \circ p = g \circ q$ como morfismos $Z \rightarrow S$ . Afirmamos que $Z$ junto con los morfismos $p, q$ es un producto de fibra de $X$ y $Y$ en $S$ .
Dejemos que $H$ sea un esquema cualquiera, y supongamos que $\phi: H \rightarrow X, \psi: H \rightarrow Y$ son morfismos con $f \circ \phi = g \circ \psi$ . Necesitamos demostrar que existe un morfismo único $\pi: H \rightarrow Z$ tal que $p \circ \pi = \phi$ y $q \circ \pi = \psi$ .
Desde $f \circ \phi = g \circ \psi$ la imagen de $\phi$ se mapea en $S_0$ por $f$ lo que significa que la imagen de $\phi$ está contenida en $X_0$ . Por lo tanto, existe un morfismo único $\phi_0: H \rightarrow X_0$ tal que $i \circ \phi_0 = \phi$ .
Ahora $a \circ f_0 \circ \phi_0 = f \circ i \circ \phi_0 = f \circ \phi = g \circ \psi =a \circ g_0 \circ \psi$ y la anulación de la $a$ (creo que podemos hacerlo) obtenemos $f_0 \circ \phi_0 = g_0 \circ \psi$ por lo que existe un morfismo único $\pi_0: H \rightarrow Z$ tal que $p_0 \circ \pi_0 = \phi_0$ y $q \circ \pi_0 = \psi$ .
Desde $p_0 \circ \pi_0 = \phi_0$ obtenemos $i \circ p_0 \circ \pi_0 = i \circ \phi_0$ o $p \circ \pi_0 = \phi$ . También, $q \circ \pi_0 = \psi$ como acabamos de mencionar.
Para la unicidad, supongamos que $\pi: H \rightarrow Z$ es otro morfismo con $p \circ \pi = \phi$ y $q \circ \pi = \psi$ . Desde $i \circ p_0 \circ \pi = i \circ \phi_0$ obtenemos $p_0 \circ \pi = \phi_0$ y considerando también $q \circ \pi = \psi$ tenemos $\pi = \pi_0$ por la singularidad de $Z$ como producto de fibra sobre $X_0$ y $Y$ en $S_0$ . $\blacksquare$
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