Volumen de una esfera por "adición" de medias esferas de dimensión inferior

Question

Me pregunto sobre las diferentes formas de calcular el volumen de un $n$ -Esfera. En la página de la wikipedia se explica un método para calcular el volumen mediante coordenadas hiperesféricas:

http://en.wikipedia.org/wiki/N-sphere#Hyperspherical_volume_element

Supongamos que ahora quiero calcular el volumen $V(n)$ de un $n$ -esfera integrando los volúmenes $V(n-1)$ de un montón de $(n-1)$ -esferas. Suponiendo que esta $(n-1)$ -esfera está alineada con la primera $n-1$ ejes de coordenadas, no veo la manera de integrar simplemente $(n-1)$ -con la variable de la última coordenada angular. También me interesa de forma más general esta cuestión cuando integramos $(n-k)$ -esferas con volúmenes $V(n-k)$ siendo las variables las últimas $k$ coordenadas angulares. ¿Alguna idea?

Answer 1

En primer lugar, considera la integración para el volumen de un círculo a lo largo de una línea. $$2\int_0^r (r^2-x^2)^.5dx$$ Esta es algo complicada, como lo son todas las integrales subsiguientes que producen un aumento de la potencia de pi, porque hay que usar la polar en la raíz cuadrada, pero al final se consigue: $$A=\pi r^2$$ Ahora queremos encontrar el volumen de una esfera sumando los volúmenes de las secciones circulares de la esfera a lo largo del eje x. Ya conocemos el área de un círculo porque la hemos calculado a partir de la integral anterior. El radio del círculo es sqrt(r^2-x^2) y hay simetría, por lo que la integral es $$ 2\pi\int_0^r r^2-x^2dx$$ $$ 2\pi r^3-2\pi r^3/3$$ $$ 4\pi r^3/3$$ Continúa. $$4\pi/3\int_0^r (r^2-x^2)^{1.5}dx$$ y así sucesivamente para las hiperesferas de mayor dimensión. El OP dijo algo sobre un ángulo. Si quieres integrar con respecto a un ángulo, cambia a polar/esférica y sigue el mismo método.