Una bola abierta es un conjunto abierto

Question

Demostrar que para cualquier $x_0 \in X$ y cualquier $r>0$ el balón abierto $B_r(x_o)$ está abierto.

Mi intento: Deja $y\in B_r(x_0)$ . Por definición, $d(y,x_0)<r$ . Quiero demostrar que existe un $r_1\in\mathbb{R^+}$ s.t. $B_{r_{1}}(y)\subseteq B_r(x_0)$ . Sea $a\in B_{r_{1}}(y)$ . Entonces, $d(a,y)<r_1$ . Para $a\in B_{r}(x_0)$ , $d(a,x_0)<r$ . Quiero mostrar $d(a,y)<r_1$ implica $d(a,x_0)<r$ . Por desigualdad triangular, $d(a,y)\leq d(a,x_0) + d(y,x_0) \rightarrow$ $d(a,y)<r_1\leq d(a,x_0)+d(y,x_0)<2r...$

Estoy un poco atascado después de este punto.

Answer 1

Debe especificar $r_1$ .

Para $y\in B_r(x_0)$ , dejemos que $r_1=r-d(y,x_0)$ . Entonces, si $x\in B_{r_1}(y)$ $$ d(x,x_0)\le d(x,y)+d(y,x_0)< r_1+ d(y,x_0)=r. $$ Así que $ B_{r_1}(y)\subseteq B_r(x_0)$ . Esto demuestra que $B_r(x_0)$ está abierto.

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$

Answer 2

Puesto que usted quiere concluir que $d(a,x_0)$ no es demasiado grande, debes aplicarle la desigualdad del triángulo, no a $d(a,y)$ : $d(a,x_0)\le d(a,y)+d(y,x_0)<r_1+d(y,x_0)$ . En otras palabras, tiene que elegir $r_1$ para que $r_1+d(y,x_0)\le r$ . ¿Puede explicar ahora cómo hacerlo? Recuerda, $y$ es un punto concreto de $B_r(x_0)$ Así que $d(y,x_0)$ es un número fijo.

Answer 3

En la segunda línea, ha indicado que desea encontrar un $r_1$ tal que $d(a,y)<r_1$ . Esto es bueno.

En primer lugar, ¿qué puede decir sobre $d(x_0,y)$ ya que $y$ está en $B_r(x_0)$ ? $d(x_0,y)=p \leq r$ .

Ahora, la elección de $r_1$ es más clara, ya que queremos $B_{r_1}(y)$ estar dentro $B_r(x_0)$ . Que sea $r_1=r-p$ ya que esto es intuitivamente cuánto más lejos de $x_0$ nuestros puntos pueden mentir sin dejar de estar en el balón $B_r(x_0)$ .

Por último, demostremos que ha sido una buena elección. Elige un punto $a$ en $B_{r_1}(y)$ Entonces, por la desigualdad triangular centrada en $ d(x_0,a)$ obtenemos $d(x_0,a) \leq d(x_0,y)+d(y,a)$ y ya que elegimos tan inteligentemente nuestro $r_1$ las cosas saldrán bien. Es vital que te centres en $ d(x_0,a)$ . Usted se centraba en cambio en $d(x_0,y)$ que es la razón por la que no has conseguido el atado que querías. Esto demostrará que $a$ está de hecho en el balón abierto $B_r(x_0)$ .

Answer 4

Sea $ B_r^{\delta}(a) $ y $ x \in B_r^{\delta}(a) $ entonces $\delta(a, x) = \epsilon < r $

ahora mira $ B_{\gamma}^{\delta}(x) $ para $ \gamma < r - \epsilon $ entonces $ \forall y \in B_{\gamma}^{\delta}(x)$ tenemos $ \delta(y,x) < \gamma $

entonces $ \delta(y,a) <= \delta (y,x) + \delta(x,a) <= r - \epsilon + \epsilon = r$ y el resultado es el siguiente.