Restauración de propiedades 2D a partir de datos 1D

Question

Supongamos que tenemos un conjunto de puntos en un plano 2D y que para todos los puntos se cumple una condición: $ x_i^2 + y_i^2 = C $ donde C es una constante.

A continuación, "doblamos" este conjunto 2D a 1D con la siguiente función y obtenemos un nuevo conjunto de valores: $P_i = x_i + ny_i$ , donde $n = const$ y $n \geq max \{x_i, y_i\} \forall i$ .

La pregunta es: ¿es posible demostrar que la condición inicial se cumple (demostrar la existencia de C? no importa el valor) sólo teniendo un conjunto de valores P y sin conociendo n (por supuesto, cuando se conoce n, la tarea es trivial).

Gracias por la ayuda.

Answer 1

No. El $P$ -Los valores son la proyección ortogonal de los datos originales sobre la línea $\{t(1,n) : t\in\mathbb{R}\}$ por lo que utilizando estos valores no se puede distinguir entre los puntos $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ tal que $(x_1-x_2,y_1-y_2)$ es perpendicular a $(1,n)$ . O lo que es lo mismo: tomar un conjunto de datos que se encuentra en un círculo $x^2+y^2=C$ y añadir a cada punto de datos un vector perpendicular a $(1,n)$ entonces el $P$ -Los valores de los dos conjuntos de datos son iguales, pero el último no tiene por qué ser un subconjunto de algún círculo que tenga $(0,0)$ como su centro.