Estoy tratando de entender la prueba de Teorema de nulidad de rango pero hay partes que no entiendo:
Lema de intercambio de Steinitz
Si ${\displaystyle U=\{u_{1},\dots ,u_{m}\}}$ es un conjunto de ${\displaystyle m}$ vectores linealmente independientes en un espacio vectorial ${\displaystyle V}$ y ${\displaystyle W=\{w_{1},\dots ,w_{n}\}}$ span ${\displaystyle V}$ entonces:
${\displaystyle m\leq n}$ ;
Hay un conjunto ${\displaystyle W'\subseteq W}$ con ${\displaystyle |W'|=n-m}$ tal que ${\displaystyle U\cup W'}$ abarca ${\displaystyle V}$ .
Teorema de nulidad de rango
Dejemos que ${\displaystyle V}, {\displaystyle W}$ sean espacios vectoriales, donde ${\displaystyle V}$ es de dimensión finita. Sea ${\displaystyle T\colon V\to W}$ sea una transformación lineal. Entonces
$${\displaystyle \operatorname {Rank} (T)+\operatorname {Nullity} (T)=\dim V}$$
Prueba
Dejemos que ${\displaystyle V,W}$ sean espacios vectoriales sobre algún campo ${\displaystyle \mathbb {F} }$ y ${\displaystyle T}$ definido como en el enunciado del teorema con ${\displaystyle \dim V=n}$ .
Como ${\displaystyle \operatorname {Ker} T\subset V}$ es un subespacio, existe una base para él. Supongamos que ${\displaystyle \dim \operatorname {Ker} T=k}$
Sé que $\text{ker T}$ es un subconjunto de un conjunto finito $V$ y por lo tanto es finito, pero ¿cómo implica esto que $\text{ker T}$ ¿tiene una base?
y que ${\displaystyle {\mathcal {K}}:=\{v_{1},\ldots ,v_{k}\}\subset \operatorname {Ker} (T)}$ ser una base de este tipo.
Ahora podemos, por el lema de intercambio de Steinitz, extender ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ con ${\displaystyle n-k}$ vectores linealmente independientes ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n-k}}$ para formar una base completa de ${\displaystyle V}$ .
Dejemos que
${\displaystyle {\mathcal {S}}:=\{w_{1},\ldots ,w_{n-k}\}\subset V\setminus \operatorname {Ker} (T)}$ tal que
${\displaystyle {\mathcal {B}}:={\mathcal {K}}\cup {\mathcal {S}}=\{v_{1},\ldots ,v_{k},w_{1},\ldots ,w_{n-k}\}\subset V}$ es una base para ${\displaystyle V}$ .
¿Qué es? $V,W,W',U$ ¿aquí? Como la prueba utiliza el lema de intercambio de Steinitz, sin embargo no puedo reconocer $V,W,W',U$ .
A partir de esto, sabemos que ${\displaystyle \operatorname {Im} T=\operatorname {Span} T({\mathcal {B}})=\operatorname {Span} \{T(v_{1}),\ldots ,T(v_{k}),T(w_{1}),\ldots ,T(w_{n-k})\}=\operatorname {Span} \{T(w_{1}),\ldots ,T(w_{n-k})\}=\operatorname {Span} T({\mathcal {S}})}$
Por qué $\text{Im}\; T=\text{span} \;T (\mathcal B)$ ?
Y por qué $\operatorname {Span} \{T(v_{1}),\ldots ,T(v_{k}),T(w_{1}),\ldots ,T(w_{n-k})\}=\operatorname {Span} \{T(w_{1}),\ldots ,T(w_{n-k})\}$ ?
Gracias por su ayuda.
