Demostración del teorema de la nulidad de rango

Question

Estoy tratando de entender la prueba de Teorema de nulidad de rango pero hay partes que no entiendo:

Lema de intercambio de Steinitz

Si ${\displaystyle U=\{u_{1},\dots ,u_{m}\}}$ es un conjunto de ${\displaystyle m}$ vectores linealmente independientes en un espacio vectorial ${\displaystyle V}$ y ${\displaystyle W=\{w_{1},\dots ,w_{n}\}}$ span ${\displaystyle V}$ entonces:

1. ${\displaystyle m\leq n}$ ;

2. Hay un conjunto ${\displaystyle W'\subseteq W}$ con ${\displaystyle |W'|=n-m}$ tal que ${\displaystyle U\cup W'}$ abarca ${\displaystyle V}$ .

Teorema de nulidad de rango

Dejemos que ${\displaystyle V}, {\displaystyle W}$ sean espacios vectoriales, donde ${\displaystyle V}$ es de dimensión finita. Sea ${\displaystyle T\colon V\to W}$ sea una transformación lineal. Entonces

$${\displaystyle \operatorname {Rank} (T)+\operatorname {Nullity} (T)=\dim V}$$

Prueba

Dejemos que ${\displaystyle V,W}$ sean espacios vectoriales sobre algún campo ${\displaystyle \mathbb {F} }$ y ${\displaystyle T}$ definido como en el enunciado del teorema con ${\displaystyle \dim V=n}$ .

Como ${\displaystyle \operatorname {Ker} T\subset V}$ es un subespacio, existe una base para él. Supongamos que ${\displaystyle \dim \operatorname {Ker} T=k}$

Sé que $\text{ker T}$ es un subconjunto de un conjunto finito $V$ y por lo tanto es finito, pero ¿cómo implica esto que $\text{ker T}$ ¿tiene una base?

y que ${\displaystyle {\mathcal {K}}:=\{v_{1},\ldots ,v_{k}\}\subset \operatorname {Ker} (T)}$ ser una base de este tipo.

Ahora podemos, por el lema de intercambio de Steinitz, extender ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ con ${\displaystyle n-k}$ vectores linealmente independientes ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n-k}}$ para formar una base completa de ${\displaystyle V}$ .

Dejemos que

${\displaystyle {\mathcal {S}}:=\{w_{1},\ldots ,w_{n-k}\}\subset V\setminus \operatorname {Ker} (T)}$ tal que

${\displaystyle {\mathcal {B}}:={\mathcal {K}}\cup {\mathcal {S}}=\{v_{1},\ldots ,v_{k},w_{1},\ldots ,w_{n-k}\}\subset V}$ es una base para ${\displaystyle V}$ .

¿Qué es? $V,W,W',U$ ¿aquí? Como la prueba utiliza el lema de intercambio de Steinitz, sin embargo no puedo reconocer $V,W,W',U$ .

A partir de esto, sabemos que ${\displaystyle \operatorname {Im} T=\operatorname {Span} T({\mathcal {B}})=\operatorname {Span} \{T(v_{1}),\ldots ,T(v_{k}),T(w_{1}),\ldots ,T(w_{n-k})\}=\operatorname {Span} \{T(w_{1}),\ldots ,T(w_{n-k})\}=\operatorname {Span} T({\mathcal {S}})}$

Por qué $\text{Im}\; T=\text{span} \;T (\mathcal B)$ ?

Y por qué $\operatorname {Span} \{T(v_{1}),\ldots ,T(v_{k}),T(w_{1}),\ldots ,T(w_{n-k})\}=\operatorname {Span} \{T(w_{1}),\ldots ,T(w_{n-k})\}$ ?

Gracias por su ayuda.

Answer 1

1. $\ker T$ es un subespacio, por lo tanto es un espacio vectorial, por lo que tiene una base.

2. $V$ es $V$ , $W$ es cualquier base fija de $V$ , $U=\mathcal K$ y $W'=\mathcal S$ .

3. Es porque $\mathcal B$ es una base de $V$ por lo que, en particular, cada vector es una combinación lineal de ellos, y $T$ es lineal.

4. $T(v_i)=0$ desde $v_i\in\ker T$ .

Answer 2

Dejar $v_1,v_2,...,v_n$ sea una base para $V$ entonces para todos $v \in V$

$v=c_1v_1+...+c_nv_n$ $\Rightarrow$ $T(v)=T(C_1v_1+...+c_nv_n)=c_1T(v_1)+...+c_nT(v_n) \in \text{span} \;T (\mathcal B)$

de manera similar, $w \in \text{span} \;T (\mathcal B) \Rightarrow w=T(c_1v_1+...+c_nv_n) \in Im(T)$

por eso $Im(T)=\text{span} \;T (\mathcal B)$