¿Cómo puedo encontrar $\text{Cov}(X_k,X_5)$

Question

Hay $10$ cajas vacías numeradas $1, 2, \dots , 10$ colocados secuencialmente en la circunferencia de un círculo.Realizamos $100$ ensayos independientes. En cada ensayo, se selecciona una caja con probabilidad $\dfrac{1}{10}$ y se coloca una bola en cada una de las dos casillas vecinas de la seleccionada.

Definir $X_k$ para ser el número de bolas en el $k$ -a caja al final de $100$ ensayos.

(a) Encuentre $E[X_k]$ para $1 \le k \le 10$ .

(b) Encuentre $\text{Cov} (X_k,X_5)$ para $1 \le k \le 10$ .

Juicio:Creo que $X_k\sim \text{Bin}(n=100,p=1/5)$ y $E(X_k)=np=20,V(X_k)=npq=16$ ¿Estoy en lo cierto? Por último cómo encuentro $\text{Cov}(X_k,X_5)$ .

Answer 1

La situación general que tienes aquí está descrita por una distribución multinomial. El artículo de Wikipedia sobre la distribución multinomial lo explica:

Para n ensayos independientes, cada uno de los cuales conduce a un éxito para exactamente una de las k categorías, teniendo cada categoría una determinada probabilidad de éxito fija [...]

En su caso, se colocan dos bolas en las cajas en cada prueba. Ya has reconocido que esto conduce a una probabilidad de éxito de 1/5 para cada una de las cajas. Por lo tanto, tu respuesta para (a) es correcta.

Para responder a la pregunta (b), recuerde la fórmula de la covarianza para $i\neq j$ :

$$ Cov[X_{i}, X_{j}] = E[X_{i}\cdot X_{j}] - E[X_{i}]\cdot E[X_{j}] $$

Si sólo se pusiera una bola en una caja en cada prueba, podríamos establecer $E[X_{i}\cdot X_{j}]=0$ porque $X_{i}$ y $X_{j}$ no puede ser 1 (es decir, recibir una pelota) en el mismo ensayo. Se ve fácilmente que esta suposición es cierta siempre que $j\neq i \pm 1 \text{ mod } 10$ . Para estos casos, la covarianza es $-np_{i}p_{j} = -100\cdot (1/5)\cdot (1/5) = -4$ .

Para el caso de que $j=i \pm 1 \text{ mod } 10$ El término $E[X_{i}\cdot X_{j}]\neq 0$ porque ambas casillas reciben una pelota en el mismo juicio. Del artículo de Wikipedia sobre la distribución binomial obtenemos

$$ Cov[X_{i}, X_{j}] = n\cdot (p_{b}-p_{i}p_{j}) $$

donde $p_{b}$ denota la probabilidad de que ambas casillas reciban una bola. En este caso, $p_{b}=1/10$ . Así que, finalmente, siempre que $j=i \pm 1 \text{ mod } 10$ la covarianza es $100\cdot (\frac{1}{10} - \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{5})=6$ .

Answer 2

Este es mi primer post en StackExchange, y espero que sea útil. COOLSerdash ya dio una respuesta muy completa con la que estoy de acuerdo en su mayor parte, pero voy a tratar de añadir una perspectiva diferente sobre el problema.

Como usted dijo, $X_{k} \sim Binomial(n=100,p=\frac{1}{5}) \equiv 100 \times Bernoulli(\frac{1}{5})$

$\text{Cov}(X_5,X_k) = \mathbb{E}[(X_5-\mathbb{E}[X_5])(X_k-\mathbb{E}[X_k])]$

Esto lleva a la expresión $\mathbb{E}[X_5X_k]-\mathbb{E}[X_5]\mathbb{E}[X_k] = \mathbb{E}[X_5X_k]-100\times(\mathbb{E}(Bernoulli(\frac{1}{5}))$ $= \mathbb{E}[X_5X_k]-100\times(\frac{1}{25})=\mathbb{E}[X_5X_k]-4$ .

Por lo tanto, tenemos tres condiciones:

$k = 5 ; Cov(X_5,X_5) = Var(X_5) = Var(X_k) = 16$

$k \neq 3,7; Cov(X_5,X_k) = \mathbb{E}[X_5X_k]-4 = 0$

Considere los eventos $A := $ {caja $5$ consigue una pelota} , $B$ {caja $k$ consigue una pelota} $\neq 3,7$ entonces $ \mathbb{P}(A,B) = \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)$ debido a la independencia.

$\therefore \mathbb{E}[X_5X_k]=100\times \mathbb{E}[A]\mathbb{E}[B]=100\times(\frac{1}{5}\times \frac{1}{5}) = 4$

$k = 3,7; Cov(X_5,X_k) = \mathbb{E}[X_5X_k]-4 = 6$ (como dijo COOLSerdash)

Con los eventos definidos $A$ y $B$ para $k = 3,7$ , $ \mathbb{P}(A,B) = \frac{1}{10}$ ya que la probabilidad $A \cap B$ es la probabilidad de que la casilla 4 (si $k=3$ ) o la casilla 6 (si $k=7$ ) recibe un balón.

Espero que esto ayude.