Cómo calcular $\lim_{n \to \infty } \left( {\sqrt[n]{{{3^n} + {4^n}}}} \right)$ ?

Question

Cómo calcular $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\sqrt[n]{{{3^n} + {4^n}}}} \right)?$$

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He visto en las sugerencias que se puede utilizar el teorema del sándwich o la compresión. Y el hecho de que $\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\sqrt[n]{2}} \right) = 1$

Así que primero debo encontrar los límites superior e inferior.

¿alguien me ayuda con esto por favor?

Answer 1

Solución completa: Teorema del sándwich

$$ \sqrt[n]{4^n} \le \sqrt[n]{4^n + 3^n} \le \sqrt[n]{2\times4^n}$$

y así

$$ 4 \le \sqrt[n]{4^n + 3^n} \le 2^{1/n} \times 4 $$

Desde $2^{1/n} \to 1$ como $n \to \infty$ Por lo tanto, el límite requerido es $4$ .

O usar un mazo:

Utiliza el hecho de que para los positivos $a_n$ si $\lim\limits_{n\rightarrow\infty} {a_{n+1}\over a_n}$ existe entonces también $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\root n\of {a_n}$ y son iguales. Aquí $a_n=4^n+3^n$ y se puede mostrar $$ \lim\limits_{n\rightarrow\infty} {4^{n+1}+3^{n+1}\over 4^n+3^n} =4. $$ Así que, entonces $\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \root n\of{4^n+3^n}=4$ también.

Answer 2

Una pista.

$$\sqrt[n]{{{3^n} + {4^n}}}=\sqrt[n]{4^n(1+\left(\frac{3}{4}\right)^n)}=4\sqrt[n]{1+\left(\frac{3}{4}\right)^n}$$

Answer 3

$$3^n + 4^n \sim 4^n \implies \sqrt[n] {3^n + 4^n} \sim \sqrt[n]{4^n} = 4$$

Answer 4

También puedes hacer lo siguiente:

$$ (3^n+4^n)^{\frac{1}{n}}=e^{\frac{1}{n}\ln(3^n+4^n)}=e^{\frac{1}{n}\ln[4^n(1+\frac{3^n}{4^n})]}$$ $$ = e^{\frac{1}{n}[n\ln 4 + \ln (1+\frac{3^n}{4^n})]}=e^{\ln 4 + \frac{\ln (1+\frac{3^n}{4^n})}{n}}=4\cdot e^{\frac{\ln (1+\frac{3^n}{4^n})}{n}}$$

Ahora es fácil demostrar que $e^{\frac{\ln (1+\frac{3^n}{4^n})}{n}}$ va a $0$ para $ n \rightarrow \infty $ .