Relación entre implicación y disyunción

Question

Espero que alguien me ayude con una intuición o una buena explicación de por qué la Implicación se relaciona con la Disyunción en la Lógica Matemática. La propiedad específica por la que pregunto es :

                                (P  Q)  (¬P  Q)

Además, mientras buscaba en Wikipedia encontré algunas Diagramas de Venn explicando con imágenes la Tabla de la verdad que utilicé para probar la propiedad mencionada, pero no tenía sentido para mí, finalmente la prueba simbólica no construye una buena intuición en nuestras mentes. Gracias por su tiempo, y pido disculpas si esta pregunta ya fue formulada de alguna manera, no pude encontrar ninguna, este es mi primer post aquí :). El enlace del artículo de Wikipedia : https://en.wikipedia.org/wiki/Logical_connective

Answer 1

En la lógica clásica, el conectivos lógicos son funcionales a la verdad, es decir, se definen por su tabla de la verdad .

Con ellos, podemos comprobar fácilmente que las dos fórmulas :

$P \to Q$ y $\lnot P \lor Q$

son equivalente .

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Si no está "tranquilo" con este resultado, no es el único: en Lógica intuitiva este resultado no es demostrable.

En efecto, esta lógica no "está de acuerdo" con la definición de verdad-función de las conectivas.

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En el contexto de la "lógica clásica" la mejor "intuición que puedo sugerirle es reflexionar sobre cómo la $\to$ El conectivo se utiliza en el razonamiento matemático mediante modus ponens regla de inferencia.

Esta regla nos permite inferir $B$ de $A$ y $A \to B$ .

Lo "aplicamos" afirmando la locales : $A \to B$ y $A$ .

La primera afirmación excluye el caso en que $A$ es verdadero y $B$ falso mientras que la segunda afirmación excluye los dos casos en los que $A$ es falso .

Así, la tabla de verdad de $\to$ nos deja sólo una posibilidad : $B$ verdadero y esto es lo que necesitamos para concluir la prueba.

Lo mismo ocurre con la "versión disyuntiva" de la misma regla :

que nos permite inferir $B$ de $A$ y $\lnot A \lor B$ .

En palabras : si sabemos que al menos uno entre $\lnot A$ y $B$ se mantiene y si sabemos que $A$ se mantiene (es decir $\lnot A$ no lo hace), tenemos que concluir que $B$ debe aguantar.

Answer 2

Nota: $\lnot p\lor p\equiv T$ . Así que $p\rightarrow q$ requiere $\lnot p\lor q$ .

• Editar -La declaración $\lnot p\lor p$ Tome algunos ejemplos: "O llueve o no llueve", "O llevo camisa blanca o no la llevo", "O estoy en MSE o no estoy", etc. Así que, introduciendo su condicional $p\rightarrow q$ (que significa $q$ ocurre siempre que $p$ sucede) en $\lnot p\lor p$ se obtiene $\lnot p\lor q$ .

Answer 3

Si P, entonces Q (es decir, P implica Q).

Quieres saber si la implicación es cierta. Si P es falsa, entonces no importa, si Q es verdadera o falsa. En general, el enunciado es verdadero.

Para que P implique a Q, cuando P es verdadera, Q debe ser verdadera. Por lo tanto, es necesario que Q sea verdadero, cuando P es verdadero, para que P implique a Q.

Por lo tanto, para que la implicación sea verdadera, o bien P es falsa o bien Q tiene que ser verdadera.

Ejemplo: Sea X (0<1), una afirmación verdadera. Sea Y (0<2), una afirmación verdadera.

Entonces "no X" es (0>=1) y "no Y" es (0>=2).

X implica Y versus (no X o Y)

(0 >= 1) implica (0 < 2): (extraño, pero) verdadero. No tenemos X, por lo que (no X o Y) es cierto

(0 >= 1) implica (0 >= 2): (extraño, pero) verdadero. No tenemos X, por lo que (no X o Y) es cierto

(0 < 1) implica (0 >= 2). La implicación es falsa. Aquí tenemos X y no Y, por lo que (no X o Y) es falso

(0 < 1) implica (0 < 2). La implicación es verdadera. Tenemos X e Y, por lo que (no X o Y) es verdadera.