Dominio de la inecuación dentro de la raíz cuadrada

Question

Cómo debo ir al restringir las raíces de la inecuación:

$\sqrt {x^2+5x+6} - \sqrt {x^2-x+1} \lt 1$ ?

Al restringir ambas raíces al cuadrado, sé que:

$x \le 3$ y $x \ge -2$

Sin embargo, al simplificar toda la inecuación, obtengo las dos raíces:

$\frac{-13-\sqrt{73}}{16}$ y $\frac{-13+\sqrt{73}}{16}$ .

Ambas raíces son válidas al intercambiarlas en la primera inecuación, así que ¿cómo debo restringir mi $x$ ? ¿Debería ser la respuesta final? $x \le 3$ y $x \ge -2$ ?

Answer 1

Es $$\sqrt{x^2+5x+6}<1+\sqrt{x^2-x+1}$$ o $$x^2+5x+6<1+x^2-x+1+2\sqrt{x^2-x+1}$$ o $$\sqrt{x^2-x+1}>3x+2.$$ Consideremos ahora dos casos:

1. $x< -\frac{2}{3},$ que es $x\leq-3$ o $-2\leq x<-\frac{2}{3}$ ;

2. $x\geq-\frac{2}{3}.$

¿Puedes terminar ahora?

Obtuve la siguiente respuesta: $$(-\infty,-3]\cup\left[-2,\frac{-13+\sqrt{73}}{16}\right]$$

Answer 2

Como $x^2-x+1 > 0$ no tiene ningún efecto sobre el dominio. Sin embargo, $x^2+5x+6$ es negativo en el intervalo $(-3,-2)$ . Por lo tanto, debemos tener esto en cuenta a la hora de elaborar una solución

Considere $$\sqrt{(x+2)(x+3)} < 1+\sqrt{x^2-x+1}$$ $$x^2+5x+6 < x^2-x+2 + 2\sqrt{x^2-x+1}$$

$$3x+2 < \sqrt{x^2-x+1}$$

$3x+2$ siendo lineal y $\sqrt{x^2-x+1}$ al ser una función con un solo punto crítico hay a lo sumo dos puntos en los que estas expresiones son iguales (nótese que los cuadrados de ambas son cuadráticos)

Considere los puntos en los que

$$9x^2 + 4 + 12x =x^2 -x+1$$ $$\implies 8x^2 + 13x +3 = 0$$

$$\implies x = {-13\pm\sqrt{73}\over16}$$ Como has encontrado. (Tenga en cuenta que $\sqrt{73}$ está entre 8 y 9)

Por lo tanto, todo lo que no está entre estos puntos y está en el dominio está en nuestra solución. Nuevamente usando nuestra estimación para las raíces, esto da:

$$\boxed{x\in (-\infty,-3]\cup\left[-2,{-13+\sqrt{73}\over 16}\right)}$$

Answer 3

Divide las 2 expresiones dentro de las raíces en factores lineales y decide cuando ambas expresiones en las raíces son simultáneamente no negativas.