Encontrar la probabilidad de tres lanzamientos de una moneda justa

Question

Encuentre la probabilidad de que, en tres lanzamientos de una moneda justa, haya tres caras, dado que hay al menos una cara.

Me las arreglo para conseguir $\frac{3}{6}$ o $\frac{1}{6}$ pero la respuesta correcta es

$\frac{1}{7}$

No tengo ni idea, ¿puede explicarlo?

¡Gracias! Se lo agradezco.

Answer 1

Una moneda justa tiene la misma probabilidad de salir cara o cruz. Por lo tanto, la probabilidad se puede encontrar simplemente contando.

Hay ocho posibilidades diferentes para los resultados de tres lanzamientos:

1. Cabeza, cabeza, cabeza
2. Cabeza, cabeza, cola
3. Cabeza, cola, cabeza
4. Cabeza, cola, cola
5. Cola, cabeza, cabeza
6. Cola, cabeza, cola
7. Cola, cola, cabeza
8. Cola, cola, cola

Las posibilidades 1 a 7 tienen al menos una cabeza, mientras que la posibilidad 8 no. Por lo tanto, elimine esta última.

De las 7 posibilidades restantes, 1 tiene las tres cabezas, por lo que la probabilidad es una de cada siete, o $\frac17$ .

Bien, pero ¿qué hacer si hay demasiados casos para enumerarlos explícitamente? Bueno, es fácil ver que no se pueden tener tres cabezas sin tener al menos una. Así que tu probabilidad es $$p_{\text{3 heads if at least 1 head}} = \frac{\text{Number of cases with 3 heads}}{\text{Number of cases with at least 1 head}}$$ Sin embargo, usted sabe que $$p_{\text{3 heads}} = \frac{\text{Number of cases with 3 heads}}{\text{Number of all cases}}$$ y $$p_{\text{at least 1 head}} = \frac{\text{Number of cases with at least 1 head}}{\text{Number of all cases}}$$ A partir de esto, no es difícil ver que $$p_{\text{3 heads if at least 1 head}} =\frac{p_{\text{3 heads}}}{p_{\text{at least 1 head}}}$$ Ahora seguramente sabes que $p_{\text{3 heads}}=\left(\frac12\right)^3=\frac18$ y $p_{\text{at least 1 head}} = 1-p_{\text{3 tails}}=\frac78$ . Si se inserta de nuevo, se obtiene $p_{\text{3 heads if at least 1 head}}=\frac18/\frac78=\frac17$ .

De hecho, esta última fórmula funciona incluso para probabilidades arbitrarias (es decir, no sólo para monedas justas). Sin embargo, hay que tener en cuenta que sigue dependiendo del hecho de que tener 3 cabezas implica tener al menos 1 cabeza.

Answer 2

Probabilidad de 3 cabezas = ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3 =p_1$ (decir)

Probabilidad de al menos 1 cara = 1 - probabilidad de 0 caras = $1 - \left(1-\frac{1}{2}\right)^3 =\frac{7}{8}=p_2$ (decir)

Aplicando probabilidad condicional la probabilidad deseada es $\frac{P(A∩B)}{P(B)} = \frac{p_1}{p_2}$ como aquí $P(A∩B) = P(A)$ ,

$$\frac{p_1}{p_2}=\frac{\frac{1}{8}}{\frac{7}{8}}=\frac{1}{7}$$

Answer 3

Dejemos que $A$ sea el caso de que todos los eventos tengan éxito y que $B$ denotan el caso de que al menos un evento tenga éxito.

Desde el evento $B$ es un subconjunto de $A$ se deduce que $P(A \mid B) = \frac{P(A, B)}{P(B)} = \frac{P(A)}{P(B)}$ .

Además, $P(B^*) = P(A)$ así que la respuesta es $\frac{p^n}{1-p^n}$ .

La probabilidad de éxito es $p=1/2$ y ya que tiras $n=3$ monedas la respuesta es $1/7$ .

Nota adicional: En el caso especial de que $p = 1 / k$ obtenemos $1 / (k^n - 1)$ que de nuevo da $1/(2^3 - 1)$ .