¿El $h$ dado exhibe el homeomorfismo entre $\mathbb{R}^{\omega}$ y sí mismo con topologías de caja?

Question

(Munkres, p. 118, Problema 8)

Dar $h: \mathbb{R}^{\omega} \to \mathbb{R}^{\omega}$ $$ h(x_1,x_2,\dots) = (ax_1 +b,ax_2+b,\dots) $$ donde $a,b\in \mathbb{R}$.

¿El $h$ dado muestra el homeomorfismo entre $\mathbb{R}^{\omega}$ y sí mismo con topologías de caja?

Mi prueba es la siguiente:

Dado que cada $x_i \mapsto ax_i +b$ es continua, para cada bola abierta $B_i(ax_i +b, \epsilon_i)$, podemos encontrar $B_i(x,\delta_i)$ tal que $aB_i(x,\delta_i) +b \subseteq B_i(ax_i +b, \epsilon_i)$. Ahora construimos $$ B_1(x_i,\delta_i) \times B_2(x_i,\delta_i) \times \cdots. $$ Entonces $$ h(B_1(x_i,\delta_i) \times B_2(x_i,\delta_i) \times \cdots) \subseteq B_1(ax_1 +b, \epsilon_1) \times B_2(ax_2 +b, \epsilon_2) \times \cdots $$ demostrando la continuidad.

¿Sería esto válido?

Answer 1

Si $a \ne 0$, $h$ es invertible con $\def\R{\mathbb R}\def\Ro{\R^{\omega}}$ $$ h^{-1}\colon \Ro \to \Ro, \quad x \mapsto (a^{-1}x_1 - a^{-1}b, a^{-1}x_2 - a^{-1}b, \ldots) $$ entonces $h^{-1}$ es del "mismo tipo" que $h$, por lo que demostraremos que $h$ es continua, entonces $h^{-1}$ también es continua (siguiendo las mismas líneas).

Entonces sea $U = \prod_{i< \omega} (\alpha_i, \beta_i)$ un conjunto base de la topología de caja. Si tenemos que $a > 0$: \begin{align*} ax_i + b &\in (\alpha_i, \beta_i)\\ \iff ax_i &\in (\alpha_i - b, \beta_i - b)\\ \iff x_i &\in (a^{-1}\alpha_i - a^{-1}b, a^{-1}\beta_i - a^{-1}b) \end{align*} así que $h^{-1}(U) = \prod_{i<\omega}(a^{-1}\alpha_i - a^{-1}b, a^{-1}\beta_i - a^{-1}b)$ es Box-abierto, por lo tanto $h$ es continua, si $a < 0$, de manera análoga tenemos \begin{align*} ax_i + b &\in (\alpha_i, \beta_i)\\ \iff ax_i &\in (\alpha_i - b, \beta_i - b)\\ \iff x_i &\in (a^{-1}\beta_i - a^{-1}b, a^{-1}\alpha_i - a^{-1}b) \end{align*} entonces $h^{-1}(U) = \prod_{i<\omega}(a^{-1}\beta_i - a^{-1}b, a^{-1}\alpha_i - a^{-1}b)$, el cual también es abierto.

Answer 2

PISTA: El mapa $h$ es una composición de los mapas

$$h_1:\Bbb R^\omega\to\Bbb R^\omega:\langle x_0,x_1,x_2,\ldots\rangle\mapsto\langle ax_0,ax_1,ax_2,\ldots\rangle$$

y

$$h_2:\Bbb R^\omega\to\Bbb R^\omega:\langle x_0,x_1,x_2,\ldots\rangle\mapsto\langle x_0+b,x_1+b,x_2+b,\ldots\rangle\;;$$

si puedes demostrar que $h_1$ y $h_2$ son ambos homeomorfismos, entonces se seguirá inmediatamente que $h=h_2\circ h_1$ es un homeomorfismo.

• Es muy fácil demostrar que $h_2$ es un homeomorfismo: es simplemente una traslación por $\langle b,b,b,\ldots\rangle$ que lleva cajas abiertas a cajas abiertas.

• También es bastante fácil demostrar que $h_1$ lleva cajas abiertas a cajas abiertas y, por lo tanto, es un homeomorfismo a menos que $a$ tenga un cierto valor; ¿cuál es ese valor excepcional?

(Es posible trabajar directamente con $h$, pero creo que es conceptualmente más fácil trabajar con los mapas más simples $h_1$ y $h_2$.)