Para lo cual $x \in \mathbb{R}$ hace la serie $\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n!}$ ¿converger?

Question

Un problema de mi libro de ejercicios pregunta por qué $x \in \mathbb{R}$ la siguiente serie converge:

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n!}.$$

La respuesta dada por el libro de ejercicios es $|x|\leq 1$ pero desde la teoría ( Teorema de Taylor ) Sé que esta serie converge a $(e^x-1)$ por cada $x \in \mathbb{R}$ .

¿Y qué? ¿Podría aclarar la situación?

Answer 1

Una pista. La prueba de la proporción: tiene, como $n \to +\infty$ , $$ \left|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\right|=\left|\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\times\frac{n!}{x^n}\right|=\frac{|x|}{n+1} \to 0. $$ Así, el radio de convergencia es infinito .

Answer 2

Esta serie equivale a $e^x - 1$ y sí, converge para todos los reales $x$ .