Cómo comprobar la continuidad uniforme

Question

Sea f(x)=a $^x$ ,x $\in \mathbb Q$ donde a>0 y a $\in \mathbb R$ ¿Es la función f uniformemente continua? Si la función es uniformemente continua entonces dado $\epsilon$ >0 Tengo que encontrar $\delta$ >0 tal que |a $^x$ - a $^y$ |< $ \epsilon$ siempre que $|x-y|<\delta$ . Si tomo x= $p\over q$ y y= $p_1\over q_1$ donde q y $q_1$ no son cero, y proceder no soy capaz de concluir nada ... Plz ayudarme

Answer 1

Pistas.

Antes de pensar en la continuidad uniforme sobre $\mathbf{Q}$ , piénsalo bien $\mathbf{R}$ y luego adaptar su razonamiento.

Si te doy un valor fijo, digamos $1$ ¿es posible garantizar que $|a^y - a^x|$ será menor que 1 tomando $x$ y $y$ ¿lo suficientemente cerca? (Se entiende que $x$ y $y$ pueden ser elegidos para ser cualquier número, siempre que estén dentro de una cierta distancia fija entre ellos).

Por ejemplo, ¿hay un valor de $n$ de manera que si $y = x + 1/n$ puede estar seguro de que $|a^y - a^x| \leq 1$ ?

Answer 2

Si estás familiarizado con la diferenciación, puedes demostrar con bastante facilidad que una condición suficiente para $f$ sea uniformemente continua es que $f'$ está acotado (y existe). Se puede utilizar este criterio para demostrar que $f$ es uniformemente continua en cualquier conjunto acotado.

Desgraciadamente, $f'$ no está acotado en $\mathbb{R}$ . Aunque no es el caso de cualquier función $f$ con $f'$ sin límites no es uniformemente continua, el hecho de que $f'$ diverge es un fuerte indicio de que $f$ no es uniformemente continua, y te dice dónde buscar el contraejemplo. ¿Qué puede decir sobre $f(x)-f(y)$ si $y =x+\delta$ y $x$ es muy grande (digamos, $x \to \pm \infty$ , mientras que $\delta$ permanece fijo)?