Una secuencia de funciones $\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty} \subseteq C[0,1]$ que está acotado puntualmente pero no uniformemente.

Question

En mi clase de análisis estábamos hablando de los límites puntuales frente a los límites uniformes, y surgió esta pregunta. El problema es que estamos trabajando en un conjunto compacto, sería mucho más fácil si el intervalo fuera $(0, 1]$ . Mi idea era crear una secuencia de funciones tal que $f_n(\frac{1}{n}) = n$ y $f_n(0) = 0$ , $f_n(1) = 0$ y luego conectar el "pico" con segmentos de línea a los puntos finales. Visualmente, el $f_n's$ se verían como montañas. Después de calcular las pendientes, llegué a estas fórmulas:

$$f_n(x) = \left\{ \begin{array}{ll} n^2x & \quad 0 \leq x \leq \frac{1}{n} \\ \frac{-n^2}{n-1}(x-1) & \quad \frac{1}{n} < x \leq 1 \end{array} \right.$$

Esto da la imagen que estaba visualizando en mi cabeza (a menos que mi aritmética sea incorrecta), pero desafortunadamente, no funciona, ya que no está acotado puntualmente. Mi idea era que en $x = \frac{1}{m}$ $f_n(x) \leq m$ para todos $n$ . Pero este no es el caso, por ejemplo, $f_{10}(\frac{1}{2}) = \frac{200}{9} \geq 5$ .

Así que la pregunta es: ¿puedes darme una secuencia de funciones $\{f_n(x)\}_{n=1}^{\infty} \subseteq C[0,1]$ que está acotado puntualmente pero no uniformemente? Y si es así, ¿hay alguna forma de salvar mi construcción? Tiene que haber un ejemplo "canónico", porque si no la acotación uniforme en la conclusión del Teorema de Arzela-Ascoli no sería realmente relevante.

He buscado respuestas a esta pregunta y no he encontrado ninguna. Encontré estas:

La equicontinuidad implica (acotada puntualmente si es uniformemente acotada)
¿Por qué la delimitación puntual no implica la delimitación uniforme?
¿Tiene sentido este problema? " Dé un ejemplo de un conjunto $F\subset C([0,1])$ que está acotado puntualmente pero no está acotado"

La última es, obviamente, la misma pregunta que estoy haciendo, pero no tiene respuesta, y no se me ocurrió nada a partir de la pista.

Gracias.

Answer 1

La idea es correcta, pero no dejes que la espiga tenga una suave pendiente a la derecha. Prueba con $$ f_n(x) = \cases{n^2 x & if $ x < 1/n $\cr n^2 (2/n - x) & if $ 1/n \le x \le 2/n $\cr 0 & otherwise\cr}$$

Answer 2

Considere la $C^\infty[0,1]$ funciones $f_n$ definido por $$ f_n(x)=n^2x^n(1-x). $$ Entonces $f_n$ es máximo en $x_n=n/(n+1)$ y $f_n(x_n)\sim n/\mathrm e$ por lo que $\|f_n\|_\infty\to\infty$ cuando $n\to\infty$ pero, para cada $x$ en $[0,1]$ , $f_n(x)\to0$ cuando $n\to\infty$ de ahí la secuencia $(f_n(x))_{n\geqslant0}$ está acotado.

Answer 3

En primer lugar, hay que tener en cuenta que su límite puntual $\varphi(x)$ debe ser discontinua, de lo contrario estaría acotada en $[0,1]$ y tendrías un límite uniforme. Ahora, consideremos la función $$f(x)=\begin{cases}\frac 1 x&x\neq 0\\{}\\ 0&x=0\end{cases}$$

Sabemos que esto es ilimitado cerca de $x=0$ . En cada $1,1/2,\ldots$ esto admite una línea tangente que es estrictamente debajo de la función. Esta tangente es $$T_n(x)=f(n^{-1})+f'(n^{-1})\left(x-\frac 1n\right)\\=2n-n^2x$$

Esto ciertamente seguirá $f$ de la conducta de los ciudadanos. Luego, unimos continuamente este punto tangente al origen, utilizando $$T'_n(x)=n^2x$$

y para mantener $T_n$ positivo lo cortamos de raíz, $2n^{-1}$ . Obsérvese que esto da la solución de Robert, y de hecho esta idea funcionará para cualquier función convexa que no tenga límites cerca de los puntos finales.

Answer 4

Mira estas funciones: $$f_n(x)=\begin{cases}2 n^2 x \ & \textrm{ if } 0 \leq x \leq \frac{1}{2n} \\ n-2n^2x & \textrm{ if } \frac{1}{2n} < x \leq \frac{1}{n} \\ 0 & \textrm{ otherwise}\\ \end{cases}.$$

Tenga en cuenta que para cada $0<x<1$ tenemos $f_n(x)=0$ si $\frac{1}{n}<x$ Por lo tanto, sólo hay n finitos tales que $f_n(x) \neq 0$ y esta familia está acotada puntualmente.

Por otro lado, no está uniformemente acotado, porque el máximo de la función $f_n$ es $n$ .

Espero no haber cometido ningún error, perdón si he hecho algo mal.

Answer 5

Elige cualquier secuencia $X=\{x_n\}$ de $[0,1]$ . Para la secuencia de funciones $F=\{f_n\}$ esté acotado puntualmente en $X$ significaría la secuencia $$f_1(x_n)\:\:\:f_2(x_n)\:\:\: f_3(x_n) \:\:. . .$$ para ser acotado para cada $n$ . Para cada una de las funciones a acotar en $X$ significaría la secuencia $$f_n(x_1)\:\:\: f_n(x_2)\:\:\: f_n(x_3)\:\:. . .$$ para ser acotado para cada $n$ . Teniendo esto en cuenta construyo la siguiente secuencia doble : \begin{matrix} 1&1&1&1&\dots\\ 1&2&2&2&\dots\\ 1&2&3&3&\dots\\ 1&2&3&4&\dots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots \end{matrix}

Como cada fila y cada columna están acotadas (eventualmente constantes) tenemos una secuencia puntualmente acotada de funciones acotadas. Pero como la diagonal es $(1,2,3,4,...)$ la secuencia no está uniformemente acotada.

La continuidad también se puede conseguir muy fácilmente. Por ejemplo:

Por supuesto, esto sólo funciona en $(0,1]$ ya que la secuencia no está acotada puntualmente en $0$ . Para incluir $0$ se requiere alguna modificación :

Aquí el $nth$ llega a la cima en $\frac{1}{n}$ y comienza a descender a $\frac{1}{2^n}$ . La parte superior plana de las funciones se mantendrá siempre empujando hacia la izquierda, sin llegar nunca a cero; exhibiendo la acotación puntual de la secuencia.

Obsérvese cómo el límite puntual de $(0,1]$ es el mismo en ambos casos.