¿Qué revelan los coeficientes superiores de la función zeta de Ihara?

Question

Supongamos que tenemos un gráfico $G=(V,E)$ .

La función zeta de Ihara $Z(G,u)$ es de la forma $$\frac1{\displaystyle\sum_{i=0}^{2|E|}c_iu^i}$$

Un gráfico que tiene $|E|$ Las aristas no pueden tener un ciclo simple de longitud mayor que $|E|$ .

Entonces, ¿qué hacen los coeficientes $c_i$ significa para $i>|E|$ ?

En particular, como ejemplo, ¿qué hace $c_{2n}=1$ significa para un $n$ -¿Gráfico del ciclo?

---

Lo siento, debería haberme explayado más.

Conozco la fórmula $$ c_{2m}=(-1)^{m-n}\prod_{v_i \in V}(\deg(v_i)-1)$$ dado en una tesis doctoral. Estoy buscando una interpretación más realista del ciclo de $c_{2m}$ y $c_{i}$ para $i>|E|$ en general.

Conozco el documento http://msp.org/involve/2008/1-2/involve-v1-n2-p08-p.pdf Simplemente no entiendo la interpretación de $c_{2m}$ para los gráficos de los ciclos, ya que no se da una interpretación general para $c_{i}$ para $i>|E|$ en general. La única interpretación parece ser el doble de la suma de ciclos disjuntos o el cuádruple de la suma de ciclos superpuestos cuya suma es $2m$ . Sin embargo el doble o el cuádruple de un valor integral son mayores que $1$ que es el valor de $c_{2m}$ para los gráficos de los ciclos.

Answer 1

El papel Los coeficientes de la función zeta de Ihara responde a su pregunta sobre el coeficiente principal.

Dejemos que $n=|V|,m=|E|$ . Para los ciclos, tenemos $n=m$ .

En la página 6 del pdf: $$ c_{2m}=(-1)^{m-n}\prod_{v_i \in V}(\deg(v_i)-1)$$

El ejemplo 18 de la página 12 del pdf analiza $C_n$ .