Una simple pregunta sobre el proceso AR(1) y las FDA

Question

Es una pregunta algo trivial, pero me cuesta entenderla. Consideremos que tenemos un proceso AR(1), de la siguiente manera:

$y_t=\rho y_{t-1}+\varepsilon_t,\quad t=1,...,T$ .

tal que $\varepsilon_t$ son $i.i.d$ y $\varepsilon_t\sim N(0,1)$ . Evidentemente, $y_t$ y $y_{t-1}$ están correlacionados y como tal una probabilidad conjunta, como $P[y_t\leq0,y_{t-1}\leq 0]\neq P[y_{t}\leq 0]P[y_{t-1}\leq0]$ .

Pero dado que $y_t=\rho y_{t-1}+\varepsilon_t$ y $y_{t-1}=\rho y_{t-2}+\varepsilon_{t-1}$ la mencionada probabilidad conjunta puede ser manipulada y expresada como sigue: \begin{eqnarray} P[y_t\leq0,y_{t-1}\leq 0]&=&P[\rho y_{t-1}+\varepsilon_t\leq 0,\rho y_{t-2}+\varepsilon_{t-1}\leq 0]\\ &=&P[\varepsilon_t\leq-\rho y_{t-1},\varepsilon_{t-1}\leq-\rho y_{t-2}] \end{eqnarray} Pero desde antes, sabemos que $\varepsilon_1,...,\varepsilon_t$ son $i.i.d$ lo que implica que \begin{eqnarray} P[\varepsilon_t\leq-\rho y_{t-1},\varepsilon_{t-1}\leq-\rho y_{t-2}]&=&P[\varepsilon_t\leq-\rho y_{t-1}]P[\varepsilon_{t-1}\leq-\rho y_{t-2}]\\ &=&P[y_t\leq0][y_{t-1}\leq0] \end{eqnarray} que obviamente está en contradicción con los resultados anteriores. Sé que me falta un paso aquí, así que se agradecería mucho alguna aclaración.

Answer 1

Suponiendo un valor inicial fijo $y_0\in\mathbb R$ tenemos $y_t = \rho^t y_0 + \sum_{i=1}^t\rho^{i-1}\varepsilon_t$ para $t=1,2,\ldots,T$ . Obsérvese que la combinación lineal de variables aleatorias normales independientes es de nuevo normal, por lo que $\sum_{i=1}^t\rho^{i-1} \varepsilon_t$ tiene $N\left(0,\frac{1-\rho^{2(t-1)}}{1-\rho^2}\right)$ distribución. Para cualquier $t\in\{1,2,\ldots,T\}$ podemos calcular la distribución conjunta de $(y_t,y_{t-1})$ por \begin{align} \mathbb P(y_t\leqslant u, y_{t-1}\leqslant v) &= \mathbb P\left(\rho^ty_0 + \sum_{i=1}^t \rho^{t-i}\varepsilon_i\leqslant u, \rho^ty_0 + \sum_{i=1}^{t-1} \rho^{t-i}\varepsilon_i \leqslant v\right)\\ &= \mathbb P\left(\sum_{i=1}^t \rho^{t-i}\varepsilon_i\leqslant u-\rho^ty_0, \sum_{i=1}^{t-1} \rho^{t-i}\varepsilon_i\leqslant v-\rho^ty_0, \right)\\ &= \mathbb P\left(\varepsilon_t+ \sum_{i=1}^{t-1} \rho^{t-i}\varepsilon_i\leqslant s-\rho^ty_0, \sum_{i=1}^{t-1} \rho^{t-i}\varepsilon_i\leqslant v-\rho^ty_0 \right). \end{align}