Para un submartingale de cadlag $X$ la función $t \mapsto E[X_{t}]$ es derecho continuo.

Question

Quiero demostrar que para un submartingale cadlag $(X_{t})_{t \geq 0}$ la función $t \mapsto E[X_{t}]$ es continua derecha. Hasta ahora sólo he notado que esta función es monótonamente creciente. Estaría muy agradecido si me dieran alguna pista.

Answer 1

Dejemos que $\{t_n\}_{n=1}^\infty$ sea una secuencia de números racionales en $(t, \infty)$ , disminuyendo monotónicamente hasta $t\ge 0$ como $n\to\infty.$ Queremos demostrar que $\lim_{n\to\infty} \mathbb{E} [X_{t_n}]=\mathbb{E} [X_t].$ Para ello, utilizamos la teoría de las martingalas hacia atrás:

Definición: Dejemos que $\{\mathcal{F}_n\}_{n=1}^\infty$ sea una secuencia decreciente de sub- $\sigma$ -campos de $\mathcal{F}$ (es decir, $\mathcal{F}_{n+1}\subset\mathcal{F}_n\subset \mathcal{F}$ , $\forall n\ge 1$ ). Entonces $\{Y_n,\mathcal{F}_n\}$ es un submartingale hacia atrás si $\mathbb{E} [Y_n]<\infty$ , $Y_n$ es $\mathcal{F}_n$ -medible, y $\mathbb{E} [Y_n\mid \mathcal{F_{n+1}}]\ge Y_{n+1}$ a.s., para todos $n$ .

Tenga en cuenta que si $\{X_t,\mathcal{F}_t\}$ es un submartingale, entonces $\{X_{t_n},\mathcal{F}_{t_n}\}$ es un submartingale hacia atrás (para $\{t_n\}$ definido anteriormente). Además, los submartes hacia atrás son uniformemente integrables . Por lo tanto, deducimos $$\lim_{n\to\infty} \mathbb{E} [X_{t_n}]=\mathbb{E} [X_t],$$ utilizando el hecho de que $\lim_{n\to\infty} X_{t_n}=X_t$ a.s. (a partir de la continuidad de la derecha de $X_t)$ y la integrabilidad uniforme de $\{X_{t_n}\}_n$ (véase, por ejemplo, el teorema 0.2 aquí ). La continuidad derecha de la función $t\mapsto \mathbb{E} [X_t]$ sigue.