¿Dónde está el fallo de utilizar la desigualdad de reordenación?

Question

Supongo que el lector entiende por desigualdad de reordenación que si $a_i$ y $b_i$ son reales, y $a_1 a_2 ... a_n$ y $b_1 b_2 ... b_n$ entonces

$\Sigma_{i=0}^{i=n} a_i × b_i$ $\Sigma_{i=0}^{i=n} a_i × p_i$ $\Sigma_{i=0}^{i=n} a_i × b_{n-i}$

Dónde $p_1,p_2...$ son cualquier permutación de $b_1, b_2...$

Ahora el enunciado 1: Considera 3 números positivos $a, b$ y $c$ .

WLOG, asume $a b c > 0$ Ahora, $1/c 1/b 1/a$

Aplicando la desigualdad de reordenación, obtenemos

$a/c + b/b + c/a a/b + b/a + c/c$

O, $a/c + c/a a/b + b/a$

Ahora, el dilema, si hubiéramos considerado WLOG $acb$ ENTONCES la desigualdad se habría invertido pero el resultado debería ser independiente del orden de $b$ y $c$ ya que asumimos el orden sin pérdida de generalidad...

No he podido encontrar dónde está el fallo que lleva al dilema.

Answer 1

Si $a≥b≥c>0$ entonces $a/c+c/a ≥ a/b+b/a$ .

Si $a≥c≥b>0$ entonces $a/b+b/a ≥ a/c+c/a$ .

No es una contradicción...