Si $T^n$ es $q$ -contratista, $T$ tiene exactamente un punto fijo

Question

Consideremos un espacio métrico completo $(X,d)$ y $T\colon X\to X$ . Supongamos que existe $n\in\mathbb{N}$ tal que la potencia n-ésima de $T$ es $q$ -contractivo. Demostrar que entonces $T$ tiene exactamente un punto fijo $\overline{x}\in X$ .

La potencia n-ésima se define de forma inductiva: $$ T^{n+1}(x):=T(T^{n}(x)), n\in\mathbb{N}. $$ Y para una función $T\colon X\to X$ , $q$ -medios de contratación $$ \exists 0\leq q<1~\forall~x,y\in X: d(T(x),T(y))\leq q d(x,y). $$

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Ahora a la prueba.

Creo que tengo que mostrar, que $T$ es q-contractivo, porque entonces se sigue con Banach, que $T$ tiene exactamente un punto fijo. Así que tengo que demostrar que existe un $0\leq q<1$ de modo que para todos $x,y\in X$ es $$ d(T(x),T(y))\leq q\cdot d(x,y). $$ Y lo más probable es que tenga que utilizar la q-contractividad de $T^n$ es decir, que existe un $0\leq q <1$ de modo que para todos $x,y\in X$ es $$ d(T^n(x),T^n(y))\leq q\cdot d(x,y). $$

¿Puede ayudarme?

Answer 1

El intento de mostrar $T$ es $q$ -contractiva está condenada, como mostraremos con un ejemplo a continuación.

Sin embargo, cualquier punto fijo de $T$ es también un punto fijo de $T^n$ y sólo hay uno de ellos. Así que si podemos mostrar $T$ tiene un punto fijo, hemos terminado.

Dejemos que $x \in X$ sea el único punto fijo de $T^n$ y considerar $T^n(T(x))=T(T^n(x))=T(x)$ . Pero ahora $T(x)$ es un punto fijo de $T^n$ Así que $T(x) = x$ y $x$ es también un punto fijo de $T$ .

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Para mostrar $T$ no tiene por qué ser $q$ -contractual, considere $T:X\rightarrow X$ en $X=[-1,1]$ definido por $X(x) = |x|$ si $x \lt 0$ y $X(x) = x/2$ si $x \ge 0$ . Entonces $T^2$ es $\frac{1}{2}$ -contractual, pero $T$ no es $q$ -contractivo para cualquier $0 \le q \lt 1$ .