El cálculo de la cohomology compacto con el apoyo de la open cinta de Moebius

Question

Estoy teniendo problemas para el cálculo de la cohomology compacto con el apoyo de la open cinta de Moebius (sin límite de borde).

Yo estoy usando el de Mayer Vietoris secuencia: U y V son dos subconjuntos diffeomorphic a $\mathbb{R}^2$ $U\cap V$ es diffeomorphic dos copias de $\mathbb{R}^2$.

$H^0_C(M)=0$ y eso está bien, pero luego me sale la secuencia exacta

$ 0 \rightarrow H^1_C(M) \rightarrow H^2_C(U\cap V) \rightarrow H^2_C(U)\oplus H^2_C(V) \rightarrow H^2_C(M)\rightarrow 0$

donde tanto $H^2_C(U\cap V)$ $H^2_C(U)\oplus H^2_C(V)$ tiene dimensión 2.

Yo diría que la función de $\delta:H^2_C(U\cap V) \rightarrow H^2_C(U)\oplus H^2_C(V)$ en la secuencia exacta envía $(\phi,\psi)$ $(-j_U(\phi + \psi),j_V(\phi + \psi))$donde $\phi$ $\psi$ son generadores de $H^2_C(U\cap V)$.

Así que yo diría que $Im\ \delta$ es unidimensional y se extendió por $(-j_U(\phi + \psi),j_V(\phi + \psi))$$\dim H^1_C(M)=\dim H^2_C(M)=1$. Pero, he leído que todo compacto cohomology clases de la cinta de Moebius son cero. Así que debe haber un error en alguna parte.

Answer 1

Jim comentario es correcto, el encolado se oculta la información en el mapa de $\mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ correspondiente a la mapa $\phi : H^2_c(U\cap V) \to H^2_c(U) \oplus H^2_c(V)$.

Recordar que si $U$ $V$ se abre de $\mathbb R^2$, si tenemos un mapa de $\iota : \mathbb U \to \mathbb V$, se induce un mapa de $\iota^* : \Omega^2_c(\mathbb U) \to \Omega^2_c(\mathbb V)$, tal que $\iota^* (f dxdy) = g dxdy$ donde $g$ satisface $f = (g \circ \iota) * J$ donde $J$ es el jacobiano de $\iota$, e $g=0$ fuera de la imagen de $\iota$. En consecuencia, dependiendo de la (no cambio) signo de $J$, $\int_U \omega = \pm \int_V (\iota^*(\omega))$ forall $\omega \in \Omega^2_c(U)$ (el cambio de variable de la fórmula es exactamente lo que tenemos, pero con un valor absoluto del jacobiano). Por lo tanto, tienes que seguir la pista si todos tus inclusión de mapas de preservar la orientación o no.

Escribir $U \cap V = W = W_1 \cup W_2$, por lo que el $H^2_c(U\cap V) = H^2_c(W_1) \oplus H^2_c(W_2)$. Sabemos que $U,V,W_1,W_2$ son diffeomorphic a $\mathbb R^2$, por lo que el isomorphisms son inducidos por $\alpha : \omega \in \Omega^2_c(U) \mapsto \int_U \omega$

$\phi$ está dado por $\phi(\omega_1 \oplus \omega_2) = (\iota_{W_1 \to U}^*(\omega_1) - \iota_{W_2 \to U}^*(\omega_2), \iota_{W_1 \to V}^*(\omega_1) - \iota_{W_2 \to V}^*(\omega_2))$. Por lo $\alpha \circ \phi (\omega_1 \oplus \omega_2) = (\int_U \iota_{W_1 \to U}^*(\omega_1) - \int_U \iota_{W_2 \to U}^*(\omega_2), \int_V \iota_{W_1 \to V}^*(\omega_1) - \int_V \iota_{W_2 \to V}^*(\omega_2))$.
En el Möbius caso, normalmente de selección de mapas que $\iota_{W_1 \to U},\iota_{W_2 \to U},\iota_{W_1 \to V}$ son de la orientación de la conservación, y $\iota_{W_2 \to V}$ es la orientación de la inversión, por lo que obtenemos : $\alpha \circ \phi (\omega_1 \oplus \omega_2) = (\int_{W_1} \omega_1 + \int_{W_2} \omega_2, \int_{W_1} \omega_1 - \int_{W_2} \omega_2)$ así, el mapa correspondiente $\tilde{\phi} : \mathbb R^2 \to \mathbb R^2$$(x,y) \mapsto (x+y,x-y)$, que es un isomorfismo. Por lo tanto, su núcleo y cokernel, $H^1_c(M)$$H^2_c(M)$, son ambos cero.

Answer 2

Tienes algo como $0 \to H^1_C(M) \to \mathbb{R} \oplus \mathbb{R} \to H^2_C(M) \to 0$. Consideremos $\delta \colon \mathbb{R} \oplus \mathbb{R} \to H^2_C(M)$$\varphi\colon H^1_C(M) \to \mathbb{R} \oplus \mathbb{R}$. Tenemos que $\ker \delta = \operatorname{Im} \varphi \subseteq \mathbb{R} \oplus \mathbb{R}$ y $\operatorname{Im} \delta = \ker 0 = H^2_C(M)$, luego de la clasificación de nulidad teorema obtenemos $\dim \operatorname{Im} + \dim \ker = \dim V$, lo que significa que $\dim \operatorname{Im} \delta + \dim \ker \delta \leq 2$, lo $\dim H^2_C(M) \leq 2$. También tenemos que $\dim H^1_C(M) = \dim \ker \varphi + \dim \operatorname{Im} \varphi = \dim \operatorname{Im} \varphi = \ker \delta$, lo $H_C^1(M)$ $H^2_C(M)$ deben tener la misma dimensión.

Si es $0$, hemos terminado.

Supongo que es$2$,$H^1_C(M) \cong H^2_C(M) \cong \mathbb{R} \oplus \mathbb{R}$, lo que significa que $0 \to H_C^1(M) \to 0$ es exacta; esto implica que $H_C^1(M) =0 = H_C^2(M)$, absurdo.

Supongo que es $1$, entonces tenemos que si $\alpha$ genera $H^1_C(M)$, $(\varphi(\alpha), \beta)$ genera $\mathbb{R} \oplus \mathbb{R}$ algunos $\beta$ independiente de $\alpha$; pero, a continuación, $\delta(\varphi(\alpha),\beta) = \varphi(\alpha) + \beta $ es un isomorfismo. Lo que significa que $\delta \varphi$ factores a través de cero, y por lo tanto el null-mapa, que es una iso si y sólo si $H^1_C(M) = H^2_C(M) =0$, lo cual es una contradicción.