En física, ¿qué importancia tiene distinguir entre una matriz y un grupo?

Question

Sobre el tema de Matrices de Pauli He observado que algunos autores tienden a utilizar el término matriz y grupo indistintamente.

Lo pregunto porque no veo ninguna diferencia profunda al referirse a la matriz como grupo o viceversa. Para mí, es como llamar a un número entero y a un número entero un número.

En otras palabras, ¿en qué contexto categorizo una determinada matriz como perteneciente a un grupo y cuáles son algunas de las implicaciones de hacerlo?

Answer 1

Cuando se habla de un conjunto de objetos como "grupo", se hace hincapié en las propiedades de esos objetos en relación con los demás. Por ejemplo,

$$\sigma_z \sigma_x = i\sigma_y \, .$$

Esa ecuación es cierta independientemente de los vectores (estados) sobre los que actúen esos objetos. Cuando se habla de objetos como "operadores", se da a entender que esos objetos operan sobre algo. En la mecánica cuántica ese algo suele ser un estado cuántico, como un estado de espín. Si vas más allá y los llamas "matrices" te refieres a la representación de los operadores en una base concreta. Por ejemplo, cuando se escribe

$$\sigma_x = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)$$

debe leer esto como "el pauli $x$ se representa el operador en el $z$ base por esta matriz" $^{[a]}$ .

Así que, en resumen, la palabra "grupo" enfatiza la acción de los objetos entre sí, la palabra "operador" se refiere a esos objetos cuando actúan sobre los estados cuánticos, y la palabra "matriz" se refiere a los operadores expresados en una base particular.

Ahora bien, dicho esto, muchos autores utilizan estas palabras indistintamente, por lo que hay que tratar de juzgar si hay que prestar especial atención a su elección de palabras.

$[a]$ : Por esta razón, utilizo la notación, por ejemplo $[\sigma_x]_z$ para referirme a las representaciones matriciales cuando quiero ser realmente cuidadoso.

Answer 2

Comentarios a la pregunta (v4):

1. Parece que el corazón de la pregunta de OP está estimulada por la desafortunada práctica común en la literatura de física de usar la palabra Grupo de Lie $G$ cuando en realidad sólo se habla del correspondiente Álgebra de Lie $T_eG$ es decir, el espacio tangente en el elemento de identidad $e\in G$ .

2. Ejemplo: El grupo de Lie $U(1)=\{z\in\mathbb{C}\mid |z|=1 \}\cong S^1$ es un círculo, mientras que el álgebra de Lie correspondiente $u(1)=\mathbb{R}$ es la línea real.

3. Ejemplo: El grupo de Lie $GL(n,\mathbb{F})=\{M\in{\rm Mat}_{n\times n}(\mathbb{F}) \mid \det(M)\neq 0\}$ tiene el álgebra de Lie ${\rm Mat}_{n\times n}(\mathbb{F})$ .

Answer 3

Me disculpo si esta respuesta es demasiado básica o cubre cosas que ya entiendes - basándome en tu pregunta no estoy seguro de cuáles son exactamente tus conocimientos, así que empezaré desde el principio.

Un "grupo" es un objeto matemático particular que aparece mucho en la física. Los grupos suelen ser muy adecuados para describir las simetrías de un sistema, de ahí su frecuente aplicación en la física matemática.

En particular, un grupo es un conjunto $G$ junto con una operación binaria que satisfaga algunas condiciones (que se enumerarán después de este párrafo). Una operación binaria es una operación que toma dos elementos de $G$ y escupe un tercer elemento de $G$ (por ejemplo, la suma es una operación binaria en el conjunto de los enteros, ya que al sumar dos enteros se obtiene un tercer entero). Para los fines de este artículo, utilizaré $*$ como una operación binaria general, es decir, si $a$ y $b$ son dos elementos de $G$ entonces $a*b$ es el elemento obtenido al realizar la operación binaria sobre $a$ y $b$ .

Para que $G$ para llamarse "grupo", debe cumplir las cuatro condiciones siguientes:

1. Cierre - La operación binaria permanece dentro del grupo. Es decir, si $a, b \in G$ entonces $a*b \in G.$
2. Asociatividad - Si $a, b, c \in G$ entonces $(a * b) * c = a * (b * c)$ .
3. Identidad - Existe un elemento $e \in G$ tal que para cualquier $a \in G$ , $e * a = a * e = a.$
4. Inversa - Para cualquier elemento $a \in G$ existe un elemento correspondiente $a^{-1}$ tal que $a a^{-1} = a^{-1} a = e.$

Por ejemplo, los números enteros son un grupo bajo la operación binaria de la suma. Dado que la suma de dos enteros cualesquiera es un número entero, es evidente que satisfacen el axioma (1). Como la adición de enteros es asociativa, satisfacen el axioma (2). Dado que $0$ es un número entero y $z + 0 = 0 + z = z$ para cualquier número entero $z$ , $0$ es una identidad aditiva y por lo tanto los enteros satisfacen el axioma (3). Y finalmente, para cualquier entero $z$ tenemos otro número entero $(-z)$ tal que $z + (-z) = (-z) + z = 0$ por lo que los enteros satisfacen el axioma (4).

Hay muchos grupos en física, y aparecen con frecuencia. Dejando a un lado el formalismo matemático, un grupo es un conjunto de objetos que se pueden componer entre sí para obtener nuevos objetos, de tal manera que cada objeto puede ser negado. Por ejemplo, en la relatividad especial, el conjunto de todos los impulsos en una dirección entre marcos de referencia forma un grupo: si compones dos impulsos obtienes un tercer impulso, y cada impulso puede negarse impulsando en la dirección opuesta a la misma velocidad.

Las matrices pueden reunirse muy comúnmente para formar grupos matemáticos. Por ejemplo, el conjunto de todas las matrices de 3x3 con determinante distinto de cero es un grupo bajo la multiplicación de matrices - se pueden multiplicar juntas asociativamente y como el determinante es distinto de cero cada matriz tiene una inversa.

Anteriormente mencioné que los impulsos de Lorentz forman un grupo - tal vez recuerdes de la relatividad especial que los impulsos de Lorentz pueden representarse como matrices de 4x4. Así que este es otro grupo formado por matrices.

A menos que haya un error en el texto o algún caso límite en el que no estoy pensando, un autor no debe referirse a una sola matriz como un grupo - puede referirse a un "grupo de matrices", lo que significa un grupo (como el conjunto de aumentos de Lorentz) que está formado por un conjunto de matrices.

No es como llamar a un número entero o a un número a un número entero. Al igual que un entero cualquiera es un elemento del conjunto "los enteros", muchas matrices pueden considerarse elementos de varios grupos de matrices. Un grupo de matrices, de nuevo, es una colección de matrices, no una única matriz.

Pueden referirse a grupos de matrices para subrayar que hay toda una colección de matrices que se comportan de la misma manera. Tomemos, por ejemplo, el siguiente impulso de Lorentz:

$\left( \begin{matrix} \gamma & - \beta \gamma & 0 & 0 \\ - \beta \gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right)$

Sería correcto decir que se trata de una única matriz. Pero si quisiera referirme a la colección de todos esos impulsos, me referiría al grupo de matrices. Por ejemplo, dos frases válidas en relatividad especial serían:

"Esta matriz de refuerzo de Lorentz se puede utilizar para calcular las coordenadas de un evento en un marco de referencia inercial que se mueve con una velocidad constante con respecto al primer marco de referencia".

"El grupo de impulsos de Lorentz puede utilizarse para calcular todas las coordenadas posibles de un evento en todos los marcos de referencia inerciales posibles que se mueven con una velocidad constante respecto al primer marco de referencia".