Normas matriciales de equivalencia inducida

Question

La equivalencia de las normas vectoriales en espacios de dimensión finita implica inmediatamente que todas las normas matriciales inducidas son equivalentes. Teorema 1, aquí , da algunas de las normas populares inducidas. Me interesa el $\|A\|_{2,1}$ y $\|A\|_{2,2}$ norma, donde \begin{equation*} \|A\|_{2,1}=\sup\{\|A\mathbf{x}\|_1:\|\mathbf{x}\|_2=1\} \end{equation*} y \begin{equation*} \|A\|_{2,2}=\sup\{\|A\mathbf{x}\|_2:\|\mathbf{x}\|_2=1\} \end{equation*}

Según mi análisis hasta ahora; $\|A\|_{2,1}$ límites superiores $\|A\|_{2,2}$ . ¿Puede alguien comprobarlo?

Para una matriz $A\in\mathbb{R}^{n\times m}$

$\|A\|_{2,1}=\max_{u\in\{1,-1\}^n}\|A^Tu\|_2\leq \sqrt{\sum_{i=1}^m(\sum_{j=1}^n|a_{ij}|)^2}$ .

Y $\|A\|_{2,2}=\lambda_{\max}(A^TA)=\sigma_{\max}(A)\leq\|A\|_F= \sqrt{\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n|a_{ij}|^2}$ ,

$\implies$ \begin{equation} \|A\|_{2,2}^2\leq{\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n|a_{ij}|^2}\leq{\sum_{i=1}^m\left(\sum_{j=1}^n|a_{ij}|\right)^2} \end{equation} .

Answer 1

Sus desigualdades van todas en la misma dirección, por lo que no es posible demostrar las desigualdades en ambos sentidos.

Tienes las desigualdades fáciles $$\|x\|_2\leq\|x\|_1\leq\sqrt n\,\|x\|_2.$$ Así que inmediatamente se obtiene (de la definición, no de la caracterización que citas) $$\tag{1}\bbox[5px,border:2px solid green]{\|A\|_{2,2}\leq\|A\|_{2,1}\leq\sqrt n\|A\|_{2,2}.} $$ Estas desigualdades son muy marcadas. Por ejemplo, si $A=E_{11}$ entonces $$ \|Ax\|_1=\|(x_1,0,\ldots,0)\|_1=|x_1|=\|x\|_2. $$ Así que $\|A\|_{2,2}=\|A\|_{1,1}$ . Y si $A=I_m$ entonces $\|Ax\|_1=\|x\|_1$ Así que $$ \|A\|_{2,1}=\max\{\|x\|_1:\ \|x\|_2=1\}=\sqrt n, $$ mientras que $\|A\|_{2,2}=1$ . Así que $\|A\|_{2,1}=\sqrt n\|A\|_{2,2}$ .

Editar: aquí hay una breve demostración de las desigualdades $(1)$ En caso de que no sean evidentes.

Se tiene, para cualquier $x$ . $$ \frac{\|Ax\|_2}{\|x\|_2}\leq\frac{\|Ax\|_1}{\|x\|_2}\leq\|A\|_{2,1}. $$ Ahora se toma el supremum (olvidando el término del medio) y se obtiene $$ \|A\|_{2,2}\leq\|A\|_{1,1}. $$ Del mismo modo, comience con $$ \frac{\|Ax\|_1}{\|x\|_2}\leq\sqrt{n}\,\frac{\|Ax\|_2}{\|x\|_2}\leq\sqrt{n}\,\|A\|_{2,2}. $$ Ahora olvida el término medio y toma el supremum, para obtener $$ \|A\|_{2,1}\leq\sqrt{n}\,\|A\|_{2,2}. $$