Tengo que demostrar que estas fórmulas son equivalentes: $$\begin{align} \exists x \forall y P(x,y) \equiv \forall y \exists x P(x,y) \\ \end{align}$$ ¿Puedo decir que $$\begin{align} \forall y \exists x P(x,y) \equiv \neg \exists x \forall y P(x,y) \\ \end{align}$$ Y el resultado es $\neq$ ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No puedes demostrar que son equivalentes porque no lo son.
Por ejemplo, supongamos que $P(x,y)$ es $x=y$ . Entonces $\exists x\forall y(x=y)$ significa que existe algo que equivale a todo (lo cual es muy falso en un universo con más de un individuo), mientras que $\forall y\exists x(x=y)$ simplemente dice que todo tiene algo es igual a (lo cual es trivialmente cierto -- todo es igual a sí mismo ).
$\forall y\exists x P(x,y)$ no es equivalente a $\neg \exists x\forall y P(x,y)$ o bien. Aquí, si $P(x,y)$ significa $x=x$ (es decir, siempre verdadero), entonces $\forall y\exists x P(x,y)$ es verdadera en todos los mundos con al menos un habitante, mientras que $\neg\exists x\forall y P(x,y)$ es falso en todos esos mundos.
