Encontrar el punto más cercano a las coordenadas en una gráfica $(2;0.5)$

Question

Mi inglés no es el mejor, pero espero que entienda mi pregunta.

La pregunta es la siguiente:

Encuentre el punto en $y=x^2$ que está más cerca de $A=(2;0.5)$

Agradezco cualquier consejo, sugerencia o respuesta. Gracias.

Answer 1

La distancia de $(x,x^2)$ a $(2,\frac12)$ es $\sqrt{(x-2)^2+(x^2-\frac12)^2}$ . Por lo tanto, basta con minimizar el cuadrado de la distancia que es $$(x-2)^2+(x^2-\frac12)^2 = x^2-4x+4+x^4-x^2+\frac14 = x^4-4x+\frac{17}{4}.$$

Para ello podemos tomar la derivada, $4x^3-4$ y ponerlo a cero, lo que da como resultado $x^3-1 = 0$ así que $x = 1$ . En efecto, se trata de un mínimo porque la segunda derivada, $12x^2$ es positivo en $x = 1$ .

Enchufar $x = 1$ en la fórmula original de la distancia obtenemos $\frac{\sqrt{5}}{2}$ .

Answer 2

La distancia viene dada por $$\sqrt{(x-2)^2+(y-1/2)^2}$$ donde $$y=x^2$$ y se puede diferenciar esto con respecto a $x$

Answer 3

La ecuación de la línea normal a $y=x^2$ en el punto $x_0$ es: $$y=x_0^2-\frac{1}{2x_0}(x-x_0)$$

La línea normal debe pasar por el punto $(2,0.5)$ Así que..:

$$0.5=x_0^2-\frac{1}{2x_0}(2-x_0) \Rightarrow x_0=1\Rightarrow y_0=1.$$

Por último, la distancia entre los puntos $(2,0.5)$ y $(1,1)$ es:

$$d=\sqrt{(2-1)^2+(0.5-1)^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}.$$