¿Existe una métrica en $\mathbb{R}^2$ tal que el círculo unitario es una geodésica?

Question

Es bien sabido que todos los espacios 1D son planos, y además que todas las trayectorias en espacios 1D con vectores tangentes unitarios son geodésicas. En particular, el espacio $S^1$ es plana, y el bucle cerrado que atraviesa el espacio una vez es una geodésica.

He estado tratando de incrustar $S^1$ como el círculo unitario en $\mathbb{R}^2$ para que el campo vectorial tangente unitario $\vec V = [1]$ en $S^1$ , que se transporta en paralelo alrededor de $S^1$ , permanece paralela transportada alrededor del círculo unitario en $\mathbb{R}^2$ y, además, que el camino $l(t) = [t]$ que es una geodésica en $S^1$ tiene su $\mathbb{R}^2$ incrustación $l(t) = [\cos (t), \sin (t)]$ también una geodésica.

Sin embargo, no he podido hacer que los términos funcionen. He intentado transformar el tensor métrico y el campo vectorial de $S^1$ al espacio de mayor dimensión $\mathbb{R}^2$ utilizando las derivadas parciales de las transformaciones de coordenadas, y a partir de las derivadas $\mathbb{R}^2$ tensor métrico encontrando los símbolos de Christoffel, y luego comprobando que $V$ y $l$ son transportes paralelos y una geodésica respectivamente utilizando la condición de transporte paralelo $<\vec U, \nabla \vec V > = 0$ y la condición geodésica $<\vec U, \nabla \vec U> = 0$ .

Entonces, ¿hay una métrica en $\mathbb{R}^2$ para que el camino $l(t) = [\cos(t), \sin(t)]$ es una geodésica, y si es así, ¿qué es? (Estoy listo para la respuesta, ya que he quemado todas las opciones que parecen evidentemente disponibles para mí).

Answer 1

Hay muchas posibilidades.

Por ejemplo, se puede utilizar una proyección estereográfica para mapear $\mathbb R^2$ a una esfera de diámetro unitario menos un punto, de manera que el círculo unitario mapea al ecuador. A continuación, se vuelve a tirar de la métrica de la esfera a $\mathbb R^2$ . Esto da una bonita métrica conforme: $$ ds^2 = \frac{dx^2+dy^2}{(x^2+y^2+1)^2} $$

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Intuitivamente esperaría que siempre que tengas $ds^2=f(x^2+y^2)^2\cdot(dx^2+dy^2)$ para alguna función $f:\mathbb R_{\ge 0}\to\mathbb R_{>0}$ que cae a $0$ "suficientemente rápido", habrá algunos círculo alrededor del origen que es una geodésica. Con un poco de suerte, esto podría permitirte elegir una $f$ de una forma que haga más sencillos sus cálculos posteriores.

Answer 2

Puede que esto no te satisfaga del todo, pero aquí tienes un enfoque. $\Bbb R^2-\{0\}$ es difeomorfo al cilindro $x^2+y^2=1$ . En efecto, podemos hacer un mapa en coordenadas polares mediante $$f(r,\theta) = (\cos\theta,\sin\theta,\log r).$$ Cualquier círculo en el cilindro es una geodésica cuando usamos la métrica inducida que viene de $\Bbb R^3$ . Y cualquier círculo de este tipo se remonta a un círculo centrado en el origen en el plano puntuado. Ahora retrocede esta métrica por $g$ para obtener la métrica en el plano perforado: $$g^*(dx\otimes dx + dy\otimes dy + dz\otimes dz) = \dfrac1{r^2}dr\otimes dr + d\theta\otimes d\theta.$$ (Si insiste, puede trasladar esto a coordenadas cartesianas en el plano punteado).

Dado que sólo te interesa el unidad círculo, podemos de hecho utilizar un simple argumento de la función bump para combinar esta métrica en $r>1/2$ y la métrica euclidiana sobre $r<1/4$ obteniendo así una métrica en todo el plano con la propiedad deseada. Si quieres hacer esto y no sabes cómo, házmelo saber.