Caracterizar el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones no lineal

Question

Considere el sistema de $8$ ecuaciones $$\alpha^j(1-\alpha)^ip+(1-\alpha)^j \alpha^i (1-p)=q_{j,i} \hspace{1cm} \forall j\in \{0,1,...,7\}, i\in \{0,1,...,7\} \text{ s.t. } i+j=7$$ donde:

• $\{\alpha,p\}$ son las incógnitas
• $q_{j,i}$ es conocido y en $[0,1]$ $\forall j\in \{0,1,...,7\}, i\in \{0,1,...,7\} \text{ s.t. } i+j=7$
• $\alpha\in (\frac{1}{2},1]$ , $p\in [0,1]$

Supongamos que todas las condiciones necesarias para que el sistema tenga al menos una solución wrto $\alpha,p$ se satisfacen. ¿Podría ayudar a caracterizar el conjunto de soluciones del sistema? ¿Es un único conjunto?

---

La respuesta de abajo es muy útil. Sin embargo, he decidido iniciar una recompensa porque estoy buscando más detalles sobre el método de la base de Grobner (soy un principiante): ¿por qué lo necesito aquí? En palabras gruesas y sencillas, ¿en qué consiste? ¿Cómo lo implementamos prácticamente para mi caso concreto? ¿Qué nos aporta?

Answer 1

Usted tiene $8$ ecuaciones en sólo $2$ incógnitas, por lo que tener soluciones es bastante especial.

Restando la ecuación de $j=3,i=4$ de la ecuación de $j=4$ , $i=3$ se obtiene $$\alpha^3 (1-\alpha)^3 (2 \alpha - 1) (2 p-1) = 0$$ Ahora es fácil comprobar que ni $\alpha = 0$ ni $\alpha = 1$ funcionará, mientras que si $p = 1/2$ se obtiene (después de eliminar $q$ ) un conjunto de polinomios en $\alpha$ cuyo máximo común divisor es $2\alpha - 1$ . Por lo tanto, la única manera de tener una solución es $\alpha = 1/2$ . Con $\alpha = 1/2$ , debe tener $q = 1/128$ y $p$ es arbitraria.

Pero parece que no permites $\alpha =1/2$ En ese caso, no tienes suerte: no hay otras soluciones.

EDITAR: Reemplazar $q$ por $q_{j,i}$ (permítanme llamarlo $q_j$ ya que $i+j=7$ ) supone una gran diferencia. Evidentemente, cualquier $p$ y $\alpha$ son posibles: basta con sustituir en las ecuaciones para encontrar los valores correspondientes de $q_{j}$ . Hay ecuaciones en el $q_j$ que necesitan ser satisfechas: usando una base de Groebner en Maple, encuentro $${q_{{5}}}^{6}+7\,{q_{{5}}}^{5}q_{{6}}+5\,{q_{{5}}}^{5}q_{{7}}+16\,{q_{ {5}}}^{4}{q_{{6}}}^{2}+28\,{q_{{5}}}^{4}q_{{6}}q_{{7}}+10\,{q_{{5}}}^{ 4}{q_{{7}}}^{2}+7\,{q_{{5}}}^{3}{q_{{6}}}^{3}+47\,{q_{{5}}}^{3}q_{{7}} {q_{{6}}}^{2}+42\,{q_{{5}}}^{3}q_{{6}}{q_{{7}}}^{2}+10\,{q_{{5}}}^{3}{ q_{{7}}}^{3}-22\,{q_{{5}}}^{2}{q_{{6}}}^{4}+7\,{q_{{5}}}^{2}{q_{{6}}}^ {3}q_{{7}}+45\,{q_{{5}}}^{2}{q_{{7}}}^{2}{q_{{6}}}^{2}+28\,{q_{{5}}}^{ 2}q_{{6}}{q_{{7}}}^{3}+5\,{q_{{5}}}^{2}{q_{{7}}}^{4}-28\,q_{{5}}{q_{{6 }}}^{5}-40\,q_{{5}}{q_{{6}}}^{4}q_{{7}}-7\,q_{{5}}{q_{{6}}}^{3}{q_{{7} }}^{2}+13\,q_{{5}}{q_{{7}}}^{3}{q_{{6}}}^{2}+7\,q_{{5}}q_{{6}}{q_{{7}} }^{4}+q_{{5}}{q_{{7}}}^{5}-8\,{q_{{6}}}^{6}-20\,{q_{{6}}}^{5}q_{{7}}- 18\,{q_{{6}}}^{4}{q_{{7}}}^{2}-7\,{q_{{6}}}^{3}{q_{{7}}}^{3}-{q_{{6}}} ^{2}{q_{{7}}}^{4}-{q_{{6}}}^{5}=0$$ que describe una determinada superficie en $q_5, q_6, q_7$ espacio. $q_4$ , $q_3$ , $q_2$ , $q_1$ , $q_0$ se determinan entonces por los valores de $q_5, q_6, q_7$ . La ecuación para $\alpha$ es una cuadrática: $$\alpha^2-\alpha+q_1+5 q_2+10 q_3+10 q_4+5 q_5+q_6=0$$ por lo que puede haber dos valores de $\alpha$ . Sin embargo, como $\alpha^2 - \alpha$ es estrictamente creciente para $\alpha \ge 1/2$ Sólo uno puede ser $\ge 1/2$ . Y finalmente, la ecuación para $p$ es lineal en $p$ de la forma $$(448 q_6-320 q_7-1) p + f(\alpha, q_1, \ldots, q_7)=0$$ así que al menos si $448 q_6 - 320 q_7 \ne 1$ , $p$ está determinada de forma única.

EDIT: Explícitamente, esta última ecuación es $$\left( 448\,q_{{6}}-320\,q_{{7}}-1 \right) p+1+15616\,\alpha\,q_{{5}} q_{{6}}+32768\,\alpha\,q_{{5}}q_{{7}}+q_{{1}}+8\,q_{{2}}+29\,q_{{3}}+ 64\,q_{{4}}+99\,q_{{5}}-136\,q_{{6}}+319\,q_{{7}}-\alpha-58\,\alpha\,q _{{3}}-128\,\alpha\,q_{{4}}-13184\,q_{{4}}q_{{5}}-1664\,q_{{3}}q_{{4}} -16\,\alpha\,q_{{2}}-2\,\alpha\,q_{{1}}-256\,q_{{2}}q_{{7}}-2048\,q_{{ 3}}q_{{7}}-7424\,q_{{4}}q_{{7}}-7808\,q_{{5}}q_{{6}}-16384\,q_{{5}}q_{ {7}}-2432\,q_{{6}}q_{{7}}-15872\,{q_{{5}}}^{2}-6272\,{q_{{4}}}^{2}-192 \,{q_{{3}}}^{2}+26368\,\alpha\,q_{{4}}q_{{5}}+3328\,\alpha\,q_{{3}}q_{ {4}}+12544\,\alpha\,{q_{{4}}}^{2}+512\,\alpha\,q_{{2}}q_{{7}}+4096\, \alpha\,q_{{3}}q_{{7}}+14848\,\alpha\,q_{{4}}q_{{7}}+4864\,\alpha\,q_{ {6}}q_{{7}}+31744\,\alpha\,{q_{{5}}}^{2}+384\,\alpha\,{q_{{3}}}^{2}- 318\,\alpha\,q_{{7}}-16640\,\alpha\,{q_{{6}}}^{2}+640\,\alpha\,{q_{{7} }}^{2}-198\,\alpha\,q_{{5}}-176\,\alpha\,q_{{6}}+8320\,{q_{{6}}}^{2}- 320\,{q_{{7}}}^{2} =0$$