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Caracterizar el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones no lineal

Considere el sistema de $8$ ecuaciones $$ \alpha^j(1-\alpha)^ip+(1-\alpha)^j \alpha^i (1-p)=q_{j,i} \hspace{1cm} \forall j\in \{0,1,...,7\}, i\in \{0,1,...,7\} \text{ s.t. } i+j=7 $$ donde:

  • $\{\alpha,p\}$ son las incógnitas
  • $q_{j,i}$ es conocido y en $[0,1]$ $\forall j\in \{0,1,...,7\}, i\in \{0,1,...,7\} \text{ s.t. } i+j=7$
  • $\alpha\in (\frac{1}{2},1]$ , $p\in [0,1]$

Supongamos que todas las condiciones necesarias para que el sistema tenga al menos una solución wrto $\alpha,p$ se satisfacen. ¿Podría ayudar a caracterizar el conjunto de soluciones del sistema? ¿Es un único conjunto?


La respuesta de abajo es muy útil. Sin embargo, he decidido iniciar una recompensa porque estoy buscando más detalles sobre el método de la base de Grobner (soy un principiante): ¿por qué lo necesito aquí? En palabras gruesas y sencillas, ¿en qué consiste? ¿Cómo lo implementamos prácticamente para mi caso concreto? ¿Qué nos aporta?

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Matthew Scouten Puntos 2518

Usted tiene $8$ ecuaciones en sólo $2$ incógnitas, por lo que tener soluciones es bastante especial.

Restando la ecuación de $j=3,i=4$ de la ecuación de $j=4$ , $i=3$ se obtiene $$\alpha^3 (1-\alpha)^3 (2 \alpha - 1) (2 p-1) = 0$$ Ahora es fácil comprobar que ni $\alpha = 0$ ni $\alpha = 1$ funcionará, mientras que si $p = 1/2$ se obtiene (después de eliminar $q$ ) un conjunto de polinomios en $\alpha$ cuyo máximo común divisor es $2\alpha - 1$ . Por lo tanto, la única manera de tener una solución es $\alpha = 1/2$ . Con $\alpha = 1/2$ , debe tener $q = 1/128$ y $p$ es arbitraria.

Pero parece que no permites $\alpha =1/2$ En ese caso, no tienes suerte: no hay otras soluciones.

EDITAR: Reemplazar $q$ por $q_{j,i}$ (permítanme llamarlo $q_j$ ya que $i+j=7$ ) supone una gran diferencia. Evidentemente, cualquier $p$ y $\alpha$ son posibles: basta con sustituir en las ecuaciones para encontrar los valores correspondientes de $q_{j}$ . Hay ecuaciones en el $q_j$ que necesitan ser satisfechas: usando una base de Groebner en Maple, encuentro $$ {q_{{5}}}^{6}+7\,{q_{{5}}}^{5}q_{{6}}+5\,{q_{{5}}}^{5}q_{{7}}+16\,{q_{ {5}}}^{4}{q_{{6}}}^{2}+28\,{q_{{5}}}^{4}q_{{6}}q_{{7}}+10\,{q_{{5}}}^{ 4}{q_{{7}}}^{2}+7\,{q_{{5}}}^{3}{q_{{6}}}^{3}+47\,{q_{{5}}}^{3}q_{{7}} {q_{{6}}}^{2}+42\,{q_{{5}}}^{3}q_{{6}}{q_{{7}}}^{2}+10\,{q_{{5}}}^{3}{ q_{{7}}}^{3}-22\,{q_{{5}}}^{2}{q_{{6}}}^{4}+7\,{q_{{5}}}^{2}{q_{{6}}}^ {3}q_{{7}}+45\,{q_{{5}}}^{2}{q_{{7}}}^{2}{q_{{6}}}^{2}+28\,{q_{{5}}}^{ 2}q_{{6}}{q_{{7}}}^{3}+5\,{q_{{5}}}^{2}{q_{{7}}}^{4}-28\,q_{{5}}{q_{{6 }}}^{5}-40\,q_{{5}}{q_{{6}}}^{4}q_{{7}}-7\,q_{{5}}{q_{{6}}}^{3}{q_{{7} }}^{2}+13\,q_{{5}}{q_{{7}}}^{3}{q_{{6}}}^{2}+7\,q_{{5}}q_{{6}}{q_{{7}} }^{4}+q_{{5}}{q_{{7}}}^{5}-8\,{q_{{6}}}^{6}-20\,{q_{{6}}}^{5}q_{{7}}- 18\,{q_{{6}}}^{4}{q_{{7}}}^{2}-7\,{q_{{6}}}^{3}{q_{{7}}}^{3}-{q_{{6}}} ^{2}{q_{{7}}}^{4}-{q_{{6}}}^{5}=0 $$ que describe una determinada superficie en $q_5, q_6, q_7$ espacio. $q_4$ , $q_3$ , $q_2$ , $q_1$ , $q_0$ se determinan entonces por los valores de $q_5, q_6, q_7$ . La ecuación para $\alpha$ es una cuadrática: $$\alpha^2-\alpha+q_1+5 q_2+10 q_3+10 q_4+5 q_5+q_6=0$$ por lo que puede haber dos valores de $\alpha$ . Sin embargo, como $\alpha^2 - \alpha$ es estrictamente creciente para $\alpha \ge 1/2$ Sólo uno puede ser $\ge 1/2$ . Y finalmente, la ecuación para $p$ es lineal en $p$ de la forma $$ (448 q_6-320 q_7-1) p + f(\alpha, q_1, \ldots, q_7)=0$$ así que al menos si $448 q_6 - 320 q_7 \ne 1$ , $p$ está determinada de forma única.

EDIT: Explícitamente, esta última ecuación es $$ \left( 448\,q_{{6}}-320\,q_{{7}}-1 \right) p+1+15616\,\alpha\,q_{{5}} q_{{6}}+32768\,\alpha\,q_{{5}}q_{{7}}+q_{{1}}+8\,q_{{2}}+29\,q_{{3}}+ 64\,q_{{4}}+99\,q_{{5}}-136\,q_{{6}}+319\,q_{{7}}-\alpha-58\,\alpha\,q _{{3}}-128\,\alpha\,q_{{4}}-13184\,q_{{4}}q_{{5}}-1664\,q_{{3}}q_{{4}} -16\,\alpha\,q_{{2}}-2\,\alpha\,q_{{1}}-256\,q_{{2}}q_{{7}}-2048\,q_{{ 3}}q_{{7}}-7424\,q_{{4}}q_{{7}}-7808\,q_{{5}}q_{{6}}-16384\,q_{{5}}q_{ {7}}-2432\,q_{{6}}q_{{7}}-15872\,{q_{{5}}}^{2}-6272\,{q_{{4}}}^{2}-192 \,{q_{{3}}}^{2}+26368\,\alpha\,q_{{4}}q_{{5}}+3328\,\alpha\,q_{{3}}q_{ {4}}+12544\,\alpha\,{q_{{4}}}^{2}+512\,\alpha\,q_{{2}}q_{{7}}+4096\, \alpha\,q_{{3}}q_{{7}}+14848\,\alpha\,q_{{4}}q_{{7}}+4864\,\alpha\,q_{ {6}}q_{{7}}+31744\,\alpha\,{q_{{5}}}^{2}+384\,\alpha\,{q_{{3}}}^{2}- 318\,\alpha\,q_{{7}}-16640\,\alpha\,{q_{{6}}}^{2}+640\,\alpha\,{q_{{7} }}^{2}-198\,\alpha\,q_{{5}}-176\,\alpha\,q_{{6}}+8320\,{q_{{6}}}^{2}- 320\,{q_{{7}}}^{2} =0$$

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