Límite inferior de $\phi(n)$: $n/5 < \phi (n) < n$ todos los $n > 1$?

Question

Es cierto que :

$\frac {n}{5} < \phi (n) < n$ todos los $n > 1$

donde $\phi (n)$ es de Euler totient función .

Desde $\phi(n)$ tiene el máximo valor al $n$ es un primer de ello se deduce que el máximo valor de $\phi(n)$ en el plazo de $n$$n-1$, por lo $\phi(n)< n$ todos los $n$.

¿Cuál es la mejor cota inferior para $\phi(n)$?

Answer 1

Desde $\phi(n)=n (1-\frac{1}{p_1}) \dots (1-\frac{1}{p_k})$ (donde $n=p_1^{a_1} \dots p_k^{a_k}$), es equivalente a preguntar si $(1-\frac{1}{p_1}) \dots (1-\frac{1}{p_k}) > \frac{1}{5}$, el mínimo contraejemplo debe ser un producto de primera $k$ números primos (porque tomar un pequeño primer disminuye el producto); por cálculo directo $2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 13 = 30030$ da sobre 0.192. En general, el producto se bifurca a 0, que se sigue de esta prueba. Así, tu desigualdad no es cierto, incluso si reemplazar 5 con un mayor tamaño, número fijo, y el más pequeño contraejemplo será el producto de la $k$ primeros números primos para algunos $k$.

Answer 2

Como las otras respuestas han señalado, la respuesta es no, y esto sigue siendo cierto si reemplazamos $5$ con mayor entero. Esto plantea la pregunta, ¿cuál es el óptimo límite inferior? El siguiente teorema completamente respuestas a esto:

Teorema: Para todos los $n\geq 3$ hemos $$\phi(n)\geq \frac{n}{e^{\gamma}\log \log n}+O\left(\frac{n}{(\log \log n)^2}\right),$$ where $\gamma$ es el de Euler-Mascheroni Constante, y la de arriba tiene con la igualdad infinitamente a menudo.

Observación: tenga en cuenta que desde $\log \log n\rightarrow \infty$ $n$ crece grande, vemos que el resultado $\frac{n}{m}<\phi(n)$ no puede mantener para cualquier fijo entero $m$.

Prueba: Consideremos $\mathcal{R}$, el conjunto de todos los $n$ tal que $m<n$ implica $\frac{\phi(n)}{n}<\frac {\phi(m)}{m}$. Este conjunto es entonces todos los de la "récord" $n$. Si $n\in\mathcal{R}$ $k$ factores primos, vamos a $n^*$ ser el producto de la primera $k$ factores primos. Si $n\neq n^*$,$n^*<n$$\frac{\phi(n^*)}{n^*}\leq \frac{\phi(n)}{n}$, lo cual es imposible. Por lo tanto $\mathcal{R}$ consisten enteramente de $n$ de la forma $n=\prod_{p\leq y}p$ algunos $y$.

Ahora para $n\in \mathcal{R}$, se puede elegir $y$, de modo que $\log n=\sum_{p\leq y} \log p=\theta (y)$. A continuación, utilizando uno de Mertens estimaciones vemos que $$\frac{\phi(n)}{n}=\prod_{p\leq y}\left(1-\frac{1}{p}\right)=\frac{e^{-\gamma}}{\log y}+O\left(\frac{1}{(\log y)^2}\right).$$ Since $\log \log n =\log (\theta(y))=\log y+O(1)$ by Mertens estimates again, we have for $n\in\mathcal{R}$ $$\phi(n)=\frac{ne^{-\gamma}}{\log\log n}+O\left(\frac{1}{(\log \log n)^2}\right).$$ This along with the definition of $\mathcal{R}$ implica el resultado deseado.

Edit: Añadido en la prueba. Esta prueba y la declaración de que el resultado es el Teorema 2.9 en Montgomery y Vaughn multiplicativo de la teoría de números.

Answer 3

La afirmación es falsa, con el primer contraejemplo ser 30030, para que $\phi(30030) = 5760 < \frac{30030}{5} = 6006$.

También, si es de interés, todos los contraejemplos por debajo de los 10 millones de al menos 6 distintas primer divisores. Por ejemplo, $30030 = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 \times 13$.