La suma de series y la serie de Taylor dan resultados diferentes

Question

$A = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \cdots$
$B = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \cdots$
$A + B = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \cdots$
$2A = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \cdots$
$2A = A + B$
$A - B = 0$
$0 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \cdots$

Utilizando la expansión de Taylor para $\ln(1+x)$
$\ln(2) = 1 -\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \cdots$

¿En qué me he equivocado?

Answer 1

Lo que has hecho mal es suponer que puedes tratar las series divergentes como si fueran convergentes. Si dices que

$$ A=\frac12+\frac14+\frac16+\cdots $$

entonces $A$ es un nombre de la serie, pero es no un número (ya que la serie diverge).

Por lo tanto, $$ 1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots $$ es sólo otro serie (divergente) y es una opción desafortunada llamarla $2A$ .

Answer 2

Como ya han señalado otros, la serie $\sum_{n=1}^\infty \frac1n$ y $\sum_{n=1}^\infty \frac1{2n-1}$ divergen y manipular series divergentes no es legítimo.

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Otra forma de analizar esto es mirar las sumas parciales $A_N=\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{2n}$ y $B_N=\sum_{n=1}^N \frac{1}{2n-1}$ .

Mientras que $A_N+B_N =\sum_{n=1}^{2N} \frac1n$ tenemos $A_N-B_N=-\sum_{n=N+1}^{2N}\frac1n \ne 0$ (De hecho, tenemos $\lim_{N\to\infty}(A_N-B_N)=\log(1/2)$ ).