$\frac {2 \cdot 3^{m + 1}}{k} - \frac {2 \cdot 3^{m}}{k + 1} \in \Bbb N_+$ , encontrar todos los valores posibles de $k, m$ .

Question

Si $$\frac {2 \cdot 3^{m + 1}}{k} - \frac {2 \cdot 3^{m}}{k + 1} \in \Bbb N_+$$ y $$\frac {2 \cdot 3^{m}}{k} - \frac {2 \cdot 3^{m}}{k + 1} \le 1$$ donde $k, m \in \Bbb N_+$ y $k \ge 2$ , encontrar todos los valores posibles de $k, m$ .

Esto viene de un problema en la teoría de grafos, que puede simplificarse a esto (aunque no sé si este método funciona). De acuerdo con la solución a la pregunta original, $(k, m) = (2, 1)$ .

¿Puedo decir que $\frac {2 \cdot 3^{m + 1}}{k} \in \Bbb N_+$ y $\frac {2 \cdot 3^{m}}{k + 1} \in \Bbb N_+$ ? Encontré que si eso es cierto entonces $(k, m)$ sólo tiene una solución, es decir, $(2, 1)$ . Pero no estoy seguro de poder obtener ese resultado. Si no puedo, ¿cómo puedo resolver el problema anterior?

Esta es la pregunta original:

Considere un gráfico $G(V, E)$ de orden $n$ tal que $$\forall x, y \in V ((x \not = y) \implies (|E(G - \{ x, y \})| = 3^m)),$$ donde $m \in \Bbb N_+$ , encontrar todos los valores posibles de $n$ .

He observado que (contando dos veces) $$|E(G)| = \frac {\binom {n}{n - 2}}{\binom {n - 2}{n - 4}} 3^m \le \binom {n}{2},$$ lo que equivale a esta pregunta (con $k = n - 3$ ).

Answer 1

\begin{align*} \frac {2 \cdot 3^{m + 1}}{k} - \frac {2 \cdot 3^{m}}{k + 1} \in \Bbb N_+ \\ \implies 2\cdot 3^m \Bigg(\frac {3}{k} - \frac {1}{k + 1}\Bigg) \in \Bbb N_+ \\ \implies 2\cdot 3^m\frac {2k+3}{k(k+1)} \in \Bbb N_+ \\ \implies 2\cdot 3^m\frac {2t+1}{t(t-1)} \in \Bbb N_+ \tag{$t\to k+1$} \\ \end{align*} Claramente, $t\not = 1$ .

Ahora, $t \nmid 2t+1$ desde $\gcd(2t+1,t)=\gcd(2t+1-2t,t)=\gcd(1,t)=1$ . Por lo tanto, $t$ debe dividir $2\cdot3^m$ Así que $t$ tiene que ser de la forma $2^\alpha 3^\beta$ donde $\alpha \in \{0,1\}$ y $\beta \in \{0,1,\dots m\}$

Si $t$ es impar ( $\alpha=0$ ), $t-1$ es par y no divide $3^m(2k+1)$ que siempre es impar. Pero $t-1$ divide $2\cdot3^m(2t+1)$ para que la expresión sea $\mathbb{N}_+$ Por lo tanto, $t-1|2\implies t-1=2\implies t=3$ y $(\alpha, \beta) = (0,1)$ . $k=t-1=2$ . Entonces, $m\in\{1,2,\dots \infty\}$ . ( $m\not =0$ como $t\not =1$ )

Pero entonces $$\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}=\frac{1}{12}\implies 2\cdot 3^m\Bigg(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\Bigg) = \frac{3^m}{6}\le 1 $$ y su desigualdad se mantiene sólo cuando $m\in\{0,1\}$ . Tomando la intersección de las dos soluciones para $m$ encontramos $m=1$ . Por lo tanto, $(k,m)=(2,1)$

Si $t$ es par ( $\alpha=1$ ), $t-1$ es impar y para $t-1$ para dividir $3^m(2t+1)$ , $$\gcd(3^m(2t+1),t-1)=t-1=\gcd(3^m(2t+1)-2\cdot3^m(t-1),t-1)= \gcd(3^{m+1},t-1)$$

O bien $t-1=1\implies t=2$ o $t-1=3^{m+1} \implies t=1+3^{m+1} \implies k=3^m$ . Pero $1+k$ debe dividir $2\cdot 3^m$ como la otra fracción $\Big(\frac {2 \cdot 3^{m + 1}}{k}\Big)$ es un número entero. Por lo tanto, $1+k=2 \implies k=1$ y $m=0$ . Pero necesitas $k\ge2$ y $m\in \mathbb{N}_+$

Por lo tanto, la única solución aceptable es $(k,m)=(2,1)$ .