Prueba $\lim_{x \to a}x^{0.6}=a^{0.6}$ utilizando la definición de límite del cálculo épsilon-delta

Question

Dejemos que $a>0$ . Prueba

$$\lim_{x \to a}x^{0.6}=a^{0.6}$$

Lo que he hecho:

$$|x^{0.6}-a^{0.6}|=|x^{0.2}-a^{0.2}| \cdot |x^{0.4}+x^{0.2}a^{0.2}+a^{0.4}|$$

Entonces no estoy seguro de cómo continuar, no sé cómo deshacerse de los términos complicados en el RHS

¿Alguien puede ayudar? ¡se lo agradezco!

Answer 1

Sugerencia

$$\alpha^n-\beta^n=(\alpha-\beta)(\alpha^{n-1}+\beta\alpha^{n-2}+...+\alpha\beta^{n-2}+\beta^{n-1}$$

Establecer $n=5$ , $\alpha=x^{\frac{3}{5}}$ y $\beta=a^{\frac{3}{5}}$ y concluir.

Answer 2

Trate su problema como $$\lim_{x \to a}\sqrt[5]{x^3}=\sqrt[5]{a^3}$$

Así que quiere simplificar

$$|\sqrt[5]{x^3}-\sqrt[5]{a^3}|$$

Tratar esto como una fracción sobre $1$ y utiliza el truco habitual de "racionalizar el numerador" para conseguir alguna cancelación. Eso hará que el resto de tu prueba sea mucho más fácil.

NOTA: Mientras escribía esto, @idm mostró el truco que te permitirá racionalizar el numerador. Combina lo que él escribió con lo que yo escribí para hacer el trabajo.

Answer 3

Desde $x^{.6} = x^{\frac{6}{10}} = ( x^{1/5})^3$ . Podemos demostrar que

$$ \lim_{y \to b} y^3 = b^3 \; \; \; \; \ \ \; \; \; \; \; .......(I)$$

Si establecemos $(I)$ y luego poner $y = x^{1/5}$ y $b = a^{1/5}$ da lo que quieres.

Para establecer $(I)$ Supongamos que se nos da un $\epsilon > 0$ . Nuestro objetivo es encontrar algún $\delta > 0$ de manera que si $|y-b| < \delta$ entonces $|y^3 - b^3| < \epsilon $ . Para encontrar tal $\delta$ Aviso

$$ |y^3 - b^3| = |y-b| | y^2 +yb + b^2| $$

se puede asumir a priori $\delta < 1$ y luego la parte complicada se reduce a estimar $|y^2 + yb + b^2|$ . Pero, si queremos $|y-b| < \delta$ entonces será mejor que tengamos

$$ |y -b | < 1 \iff b-1 < y < b+1 $$

Te dejaré continuar con el resto. Una vez que estimes $|y^2 + yb + b^2|$ digamos que el límite es algún $\delta( b) $ , solo toma $\delta = \min \{ 1, \delta(b) \} $ .