Linealidad de la mecánica cuántica y no linealidad de la física macroscópica

Question

Vivimos en un mundo en el que casi todos los fenómenos físicos macroscópicos son no lineales, mientras que la descripción de los fenómenos microscópicos se basa en la mecánica cuántica, que es lineal por definición. ¿Cuáles son los puntos de conexión físicos entre ambas descripciones?

Answer 1

Existe la idea errónea, demasiado extendida, de que como la ecuación de Schrodinger es lineal, los fenómenos no lineales (como el caos) son sólo clásicos. La función de onda obedece a una ecuación lineal, la ecuación de Schrodinger, pero no está directamente relacionada con la física observable. Las cantidades observables, como los valores de expectativa de los operadores, obedecen a ecuaciones no lineales. De hecho, muchas veces son las mismas ecuaciones que sus homólogas clásicas, con pequeñas correcciones.

Answer 2

Suponiendo que te refieras a "lineal" en el sentido matemático de "la suma de dos soluciones de la ecuación relevante es también una solución", no hay ninguna razón en particular por la que los objetos macroscópicos sean intrínsecamente no lineales. De hecho, en la comunidad de fundamentos cuánticos se ha trabajado mucho sobre cómo hacer que los objetos macroscópicos se comporten de forma lineal, pero mira no lineal. Ése es el sentido de cosas como la interpretación de la mecánica cuántica basada en muchos mundos y la investigación de la decoherencia por gente como W. Zurek. Puede que haya una escala por encima de la cual no sea práctico véase estados de superposición, pero eso no significa que no puedan existir.

Si no te refieres a eso, no sé qué responderte.

Answer 3

La dinámica de campo medio, que describe la evolución efectiva de una partícula en un sistema con un número muy grande de partículas, es no lineal, aunque la dinámica cuántica sea lineal. La convergencia hacia la dinámica de campo medio se ha demostrado rigurosamente para sistemas cuánticos de muchas partículas (e incluso campos cuánticos), y hoy en día es un tema muy estudiado en física matemática. En este sentido, existen fundamentos sólidos sobre la conexión entre la dinámica cuántica lineal y la evolución efectiva no lineal de los sistemas macroscópicos.

La idea es que las matrices de densidad reducida evolucionadas en el tiempo del sistema cuántico convergen, en el límite $N\to\infty$ En el caso de los estados cuánticos particulares, por ejemplo, los estados coherentes, con los estados generales el panorama se complica, pero la dinámica no lineal gobierna la evolución en el límite).

Answer 4

Lo lineal en la mecánica cuántica no tiene nada que ver con su complejidad. Un espín de dos estados puede describirse mediante una simple matriz de 2 por 2; sin embargo, 30 espines que interactúan, en general, deben describirse mediante una matriz de 1.000 millones por 1.000 millones. Crece exponencialmente a medida que aumenta el número de espines, por $10^{23}$ spin, es posible que necesite una matriz de tamaño $2^{10^{23}}$ . No es fácil de entender ni sencillo en la mayoría de los sentidos. Si aprendes algo de mecánica estadística, sabrás que este número es lo suficientemente grande como para tener nuevos fenómenos emergentes.

Answer 5

Hay otro "dominio de la linealidad"; $\ddot{x}=-x$ es una ecuación lineal con soluciones no lineales en el tiempo.