Grupos con todos los subgrupos normales

Question

¿Existe algún tipo de clasificación de grupos (digamos finitos) con la propiedad de que cada subgrupo es normal?

Por supuesto, cualquier grupo abeliano tiene esta propiedad, pero los cuaterniones muestran que la conmutatividad no es necesaria.

Si no hay una clasificación, ¿podemos al menos decir que el grupo debe ser de orden de potencia principal, o incluso una potencia de dos?

Answer 1

La palabra clave es "grupo hamiltoniano". Existe una clasificación de ellos, módulo la clasificación de grupos periódicos abelianos (es decir, grupos de torsión) con elementos de orden impar. Encontrará los detalles, debido a Dedekind y Baer, en la teoría de grupos de WR Scott, por ejemplo.

Answer 2

Sí, estos se llaman grupos hamiltonianos .

Answer 3

Si reemplazamos "(digamos finito)" por "(digamos Mentira conectada)", entonces el hecho de que tales grupos son abelianos se puede observar primero en:

Ahrens, W. , Über Transformationsgruppen, deren sämtliche Untergruppen invariant sind , Hamb. Guante. 4, 72 - 78 (1902). ZBL33.0162.02 .