Asignación continua de dos a uno de R² a R²

Question

Hola. Tengo una pregunta.

¿Existe una cartografía continua

$F:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$

tal que para cada $c\in F(\mathbb{R}^2)$

hay dos y sólo dos puntos $z_{1}$ , $z_{2}$

tal que $F(z_{1})=F(z_{2})=c$ ?

Muchas gracias por su atención.

Answer 1

Véase el artículo "Two-to-one mappings of manifolds" de Paul Civin Duke Math. J. Volumen 10, Número 1 (1943), 49-57. Demostró que no existe tal cartografía continua cerrada en ${\mathbb R}^2$ (es decir, transformar conjuntos cerrados en conjuntos cerrados).

Actualización: de acuerdo con el documento http://www.dml.cz/bitstream/handle/10338.dmlcz/700959/Toposym_01-1961-1_63.pdf existe un mapa de 2 a 1 en ${\mathbb R}^2$ pero no entiendo lo que es la imagen.

Answer 2

Sorprendentemente, parece que la respuesta es sí :

Mioduszewski, J. Sobre las funciones continuas de dos a uno. (Resumen en ruso) Bull. Acad. Polon. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys. 9 1961 129--132.

El autor anuncia resultados relativos a las funciones de dos a uno $f$ en un espacio separable localmente compacto $X$ cuyas pruebas aparecen en Rozprawy Mat. 24 (1962), 1--41. Sea $\phi$ sea la involución (discontinua) definida por $\varphi(x)=f^{-1}f(x)-x$ . Un resultado del revisor [Duke Math. J. 10 (1943), 49--57; MR0008697 (5,47e)] afirma que si $X$ es un colector compacto o $f$ está cerrado y $X$ es una variedad localmente compacta, entonces la investigación de $\phi$ es equivalente a la investigación de una involución continua. El autor llama a un punto $x\in X$ pseudoeuclidiano si tiene una vecindad $H$ tal que el cierre del componente de $x$ en $H$ es una esfera sólida euclidiana. El teorema principal afirma que si $x$ es un punto pseudoeuclidiano con $K$ como la esfera sólida de la definición, y si $\psi=\varphi|K$ que $\lim\text{}\sup_{y\rightarrow x}\psi(y)=x\bigcup\varphi(x)$ es imposible. Esto da lugar a una extensión del resultado del revisor citado anteriormente. El autor indica la existencia de un dominio plano simplemente conexo $G$ cuya frontera es un corte irreducible del plano en dos dominios y tal que existe un mapeo de dos a uno definido en $\overline G$ . Esto contrasta con el resultado de Roberts [ibid. 6 (1940), 256--262; MR0001923 (1,319d)], que afirma la no existencia de mapeados de dos a uno definidos en dos celdas. La existencia de mapas de dos a uno definidos en espacios euclidianos $E^n$ , $n\geq 2$ se muestra. Sin embargo, la cuestión de la existencia de mapeos de dos a uno definidos en $n$ -células, $n>3$ sigue abierta. [Revisión de MathSciNet por P. Civin].

No puedo acceder a este documento, así que no puedo decir nada sobre la construcción. Estaría bien ver alguna corroboración de este resultado y/o un tratamiento contemporáneo más accesible (físicamente).

Anexo : La respuesta de Petya da un enlace al artículo, en el que se puede ver que la función se define esencialmente en términos de la involución $\iota$ por lo que no queda claro cuál es el codominio ni si puede incluirse en $\mathbb{R}^2$ .

Answer 3

Según veo, del artículo de Mioduszewski se deduce que si tomamos su función continua dos a uno $F:\mathbb{R}^{2}\to Y$ entonces $Y$ puede incrustarse en $\mathbb{R}^{4}$ .

Por lo tanto, existe una función continua de dos a uno $F:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{4}$ (pero no es suryectiva).

Es decir, para cada $c\in F(\mathbb{R}^{2})$ hay dos y dos puntos $z_{1}$ , $z_{2}$ tal que $F(z_{1})=F(z_{2})=c$ .

Answer 4

Mi $5$ centavos. El espacio conexo más simple con un $2$ -to- $1$ mapa que puedo imaginar es un árbol binario infinito (sin raíz ni hojas). Digamos que todas las ramas tienen longitud unitaria. Entonces, bajando a lo largo de las ramas por una unidad de longitud, produce un continuo $2$ -to- $1$ mapa $f:T\to T$ (también la asignación de nodos a nodos). Podemos incrustar $T$ en $\mathbb{R}^2$ . ¿Podemos ampliar $f$ a un continuo $2$ -to- $1$ mapa en $\mathbb{R}^2$ tal vez una proyección de cobertura sobre $\mathbb{R}^2\setminus T$ ?

Answer 5

Lamento la intervención. He leído el citado artículo de Mioduszewski (está disponible en el enlace http://pldml.icm.edu.pl/pldml/element/bwmeta1.element.zamlynska-2e6943ca-7faf-46aa-ab2d-bbc5d5f1bcff ) pero no contiene una prueba clara de la afirmación anterior: "existe una función continua de dos a uno $F:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{4}$ (pero no es suryectiva), es decir, para cada $c\in F(\mathbb{R}^{2})$ hay dos y sólo dos puntos $z_{1}$ , $z_{2}$ tal que $F(z_{1})=F(z_{2})=c$ .' No es evidente que esta "afirmación" sea realmente cierta. ¿Por qué $\mathbb{R}^{4}$ para $\mathbb{R}^{2}$ ?