Encuentre el dominio de $f(x) = \sqrt{\log_{x^2}(x)}$ .

Question

Entiendo que x debe pertenecer a $(0,1) \cup (1, \infty)$ pero cuando lo resolví obtuve tres condiciones: que $x$ pertenece a $(1, \infty)$ , $(0, \infty)$ y $x\neq1$ . Por lo tanto, en la intersección de estos intervalos sólo me queda $x$ perteneciente a $(1, \infty)$ . Así que el problema es que no estoy recibiendo $(0,1)$ como solución.

Así es como lo resolví: 1/2 log x a la base x>=0 .......(i) Por lo tanto x>=1 Esto implica que x pertenece a [1, infinito) x no puede=1 .......(ii) Y X >0 Por lo tanto x pertenece a (0, infinito) Tras la intersección de estos 3 intervalos obtengo que x pertenece a (1, infinito)

¿En qué me he equivocado?

Answer 1

Si $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$ Entonces, observa que: $$ \log_{x^2}(x) = \frac{\log(x)}{\log(x^2)} = \frac{\log x}{2\log x} = \frac{1}{2} $$ que nunca va a ser negativo, ya que es una constante. Así que si ponemos la función anterior dentro de una raíz cuadrada, no necesitamos más restricciones en el dominio para asegurar que nunca tomamos la raíz cuadrada de un número negativo.