Encuentra la distribución límite de la siguiente variable aleatoria

Question

Dejemos que $X_1,X_2,...$ Sean variables aleatorias independientes con densidad común:

$$f_X(x)=\alpha x^{-(\alpha+1)}. x>1$$

Dónde $\alpha>0$ . Definir una nueva secuencia de variables aleatorias:

$$Y_n=(1/n^{1/\alpha})X_{(n)}$$

Dónde $X_{(n)}$ es la observación más alta de n I.I.d. r.v. $X_1,…,X_n$ . Demostrar que $Y_n$ converge en la distribución como $n\to \infty$ y encontrar la distribución límite.

Answer 1

Una pista: $$ \Pr(Y_n\leq y)=\Pr(\max X_n\leq yn^{\frac 1\alpha})=\left(\Pr( X_1\leq yn^{\frac 1\alpha})\right)^n\\ =\left(\int_1^{yn^{\frac 1\alpha}} \alpha x^{-\alpha-1}dx\right)^n=\left(\frac{-1}{x^\alpha}\Bigg|_1^{yn^{\frac 1\alpha}}\right)^n=\left(1-\frac{1}{ny^\alpha}\right)^n. $$