¿Por qué utilizamos la expresión del campo magnético en el centro de una bobina portadora de corriente para calcular el flujo que atraviesa toda la bobina?

Question

Al calcular el flujo magnético a través de una bobina circular portadora de corriente, punteamos el campo magnético en el centro con el área total de la bobina. Pero sabemos que para calcular el flujo magnético, debemos puntear el campo magnético en un punto (dentro de la espira) en el plano de la espira y puntearlo con el elemento de área en ese punto, y luego integrar toda la expresión para la superficie total. ¿Por qué no hacemos eso en este caso?

Answer 1

Debería hacerse por integración, como describes. Sin embargo, no es fácil de hacer. Por un lado, si aproximas el cable como infinitesimalmente delgado, tienes un campo infinitamente fuerte en los bordes de tu área de integración. Así que hay que tener en cuenta el grosor del cable. Las matemáticas son difíciles, pero conducen a fórmulas aproximadas simples como ésta (un truncamiento de una serie). $$\Phi=\mu_0 R I \left(\ln \frac{8R}{a}-2 \right)$$ en el que R es el radio del círculo y $a$ es el radio del cable.

Puntear la zona del bucle con $\vec{B}$ en el centro del bucle seguramente dará una respuesta demasiado pequeña. [¿Por qué no ver por sí mismo, tal vez tomando $R=50 $ mm y $a=0.50 $ mm ?] Me sorprende que alguien haya sugerido que $\Phi$ puede calcularse, aunque sea de forma aproximada, mediante este método.