¿Velocidad terminal para calcular la velocidad en función del tiempo?

Question

Usando la ecuación de la fuerza de arrastre, $F = c_d \times \rho \times v^2 \times A \times \frac{1}{2}$ , donde $c_d$ es el coeficiente de arrastre, $\rho$ es la densidad del aire, $v$ es la velocidad terminal, y $A$ es el área de referencia del objeto, y teniendo en cuenta la aceleración debida a la gravedad f = mg, ¿puedo dividir ambos lados por $m$ (masa) para obtener $\frac{dv}{dt} = -9.81 + \frac{c_d \times \rho \times v^2 \times A \times \frac{1}{2}}{m}$ ?

Por lo tanto, $dt = \frac{dv}{(-9.81 + c_d \times \rho \times v^2 \times A \times \frac{1}{2})/m}$ . Integrando ambos lados puedo obtener una función de velocidad relacionada con el tiempo. Sin embargo, algo no parece correcto. ¿No es la fuerza de arrastre en sí misma la fuerza terminal de arrastre, una variable que no cambia en función del tiempo suponiendo condiciones fijas? Pero, resolví esta ecuación, y la velocidad obtenida como resultado fue una velocidad que se hizo constante después de un tiempo determinado - en otras palabras, obtuve la velocidad terminal. Se partía de $v=0$ y $t=0$ y finalmente alcanzó un valor máximo que ya no cambió. Esto sugiere que es no incorrecto para hacer esto. Aunque, para uno de mis métodos de resolución, debido a las aproximaciones realizadas, obtuve una hipérbole que alcanzaba el mismo valor de pico pero no pasaba por v = 0 t=0.

¿Estoy en lo cierto al pensar que se me permite manipular esta ecuación de esta manera? Si no lo estoy, ¿por qué mi solución coincide con el concepto de velocidad terminal?

Answer 1

Su método de solución es completamente correcto. Agrupando un montón de constantes, tu ecuación es $$ \frac{dv}{dt} = - g + \alpha v^2 $$ que es una ecuación diferencial separable con solución $$ v(t) = - \sqrt{\frac{g}{\alpha}} \tanh \left( \sqrt{g \alpha} (t - t_0) \right), $$ donde $t_0$ es una constante.

Su confusión parece estar aquí:

¿No es la fuerza de arrastre en sí misma la fuerza de arrastre terminal, una variable que no cambia en función del tiempo suponiendo condiciones fijas?

La respuesta a esta pregunta es no La fuerza de arrastre depende de la velocidad del objeto. Si se mueve un objeto más rápido, experimenta más resistencia. La velocidad terminal se define como aquella para la que la resistencia es igual al peso del objeto; en otras palabras, la "fuerza de resistencia terminal" es, por definición, igual a la fuerza de gravedad sobre el objeto. Pero eso no significa que un objeto siempre experimente esta cantidad de arrastre; sólo experimenta esta cantidad de arrastre si se mueve a velocidad terminal.

Nótese también que si el objeto se mueve a velocidad terminal, entonces por definición $v$ es constante (ya que las fuerzas están equilibradas), $dv/dt = 0$ lo que significa que $$ -g + \alpha v_\text{ter}^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad v_\text{ter} = \sqrt{\frac{g}{\alpha}}, $$ y así podemos reescribir la solución anterior para que sea $$ v(t) = - v_\text{ter} \tanh \left( \frac{g(t - t_0)}{v_\text{ter}} \right) $$ Dadas las propiedades de la función tangente hiperbólica, esta forma hace mucho más evidente que la velocidad se aproxima asintóticamente a $-v_\text{ter}$ como $t \to \infty$ .

Answer 2

Los MOE son: \begin{align*} &\textbf{For the vehicle }\\ & m{\frac {d}{dt}}v \left( t \right) =F_{{d}} \left( {v}^{2} \right) +{ \it Fc}&(1)\\ &\textbf{For the wheel }\\ & \theta\,{\frac {d}{dt}}\omega_{{w}} \left( t \right) =M_{{E}} \left( t \right) i_{{g}}-{\it Fc}\,\,r&(2)\\ &\textbf{and the condition for a rolling wheel }\\ &\left( {\frac {d}{dt}}\omega_{{w}} \left( t \right) \right) r={ \frac {d}{dt}}v \left( t \right)&(3)\\\\ &\text{$F_d$ Drag force}\\ &\text{$M_E$ Engine torque }\\ &\text{$i_g$ Transmission between Engine and wheel}\\ &\text{$Fc$ constraint force}\\\\ &\text{We have three equations (1),(2),(3) for three unknowns $\frac {d}{dt}v(t)$,$Fc$ and ${\frac {d}{dt}}\omega(t)_{{w}}$ }\\\\ &\Rightarrow\\ &\frac{d\,v(t)}{dt}=\frac {r\,i_{{g}}M_{{E}} \left( t \right) }{\theta+m{r}^{2}}+\frac {F_{{d}} \left( {v(t)}^{2} \right) {r}^{2}}{\theta+m{r}^{2}} \end{align*}