Consideremos el Lagrangiano de Higgs \begin{equation} \mathcal{L}= -(\partial^\mu\phi+B^\mu\phi)^\dagger(\partial_\mu\phi+B_\mu\phi)-V(\phi^\dagger\phi) \end{equation} donde $B^\mu$ es el $\mu$ del campo gauge (un campo con valor de álgebra de Lie, es decir, una matriz antihermitiana), y el potencial $V$ es la función habitual del "sombrero mexicano". (He simplificado un poco la notación, espero que quede claro. El campo de calibre $B$ se refiere al conjunto $\mathrm{SU}(2)\otimes\mathrm{U}(1)$ grupo, es decir, es la suma de los tres bosones débiles y el bosón de hipercarga). Se me da un mínimo \begin{equation} \phi_0= \frac{v}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} \end{equation} del potencial $V$ sobre la que debería expandir la densidad lagrangiana, escribiendo $\phi$ como $\phi_0+\phi'$ . La parte con la derivada covariante se convierte en \begin{equation} -(\partial^\mu\phi'+B^\mu\phi'+B^\mu\phi_0)^\dagger(\partial_\mu\phi'+B_\mu\phi'+B_\mu\phi_0) \end{equation} que genera el término cinético para $\phi'$ los términos cuadráticos de masa para los bosones gauge, y un montón de otros términos cruzados. Ahora bien, algunos de los libros en los que estudié esto ignoran directamente esos términos cruzados:
- Weinberg's La teoría cuántica de los campos vol. 2 (ecuación 21.1.5) sugiere "expandir el Lagrangiano a segundo orden en $\phi'$ y $B$ ";
- Peskin y Schroeder Introducción a la QFT (ec. 20.61) dice que "los términos relevantes" son los que generan las masas de los bosones y no dice nada sobre los demás;
- Ellis (et al.) QCD y física del colisionador (ec. 8.26) simplemente escribe el Lagrangiano sin todos esos términos cruzados.
¿Qué debo hacer con esos términos cruzados? ¿Se cancelan? En el indicador de unitaridad pude demostrar que algunos de ellos son cero, pero otros, como $(\partial^\mu\phi')^\dagger B_\mu\phi'$ no lo son. Pensé que podrían convertirse en términos de interacción entre el campo de Higgs y los bosones gauge, pero a juzgar por las reglas de Feynman para las interacciones de bosones en el libro de Ellis (figura 8.2, página 277) no están ahí.
Empiezo a pensar que la línea de razonamiento aquí es que debería descartar los términos no cuadráticos y acabar con ellos. Pero no encuentro ninguna explicación más profunda que "hacerlo porque todo el mundo lo hace". ¿Por qué se pueden ignorar?
